§ 49. Применение первого закона термодинамики к изопроцессам

Определения и обозначения

Первый закон термодинамики записывают так: Q = ΔU + A. Здесь Q — количество теплоты, переданное системе, ΔU — изменение её внутренней энергии, а A — работа, совершённая газом. Закон выражает сохранение энергии: полученная теплота не исчезает, а распределяется между внутренней энергией и работой. По нему можно находить неизвестную величину, если известны две другие.

Изохорный процесс — это изменение состояния газа при постоянном объёме; его обозначают V = const. При таком процессе газ не расширяется и не сжимается, хотя его давление и температура могут меняться. Условие особенно полезно, чтобы сразу определить работу газа, не вычисляя остальные параметры: она равна нулю.

Изобарный процесс происходит при постоянном давлении и обозначается p = const. Объём газа при этом может изменяться, поэтому газ способен совершать работу или работа может совершаться над ним. Условие постоянного давления позволяет рассчитывать эту работу по изменению объёма и учитывать её при применении первого закона.

Изотермический процесс — процесс при постоянной температуре; его обозначение T = const. Для идеального газа это условие означает, что внутренняя энергия не меняется, поскольку она определяется температурой. Поэтому первый закон связывает полученную теплоту непосредственно с работой газа, что упрощает расчёт.

Как это устроено

В первом законе величины связаны так, что баланс энергии сохраняется при любом изменении состояния газа. Если газ получает теплоту, она может повысить его внутреннюю энергию, например увеличить среднюю кинетическую энергию частиц, и одновременно обеспечить расширение. Величина A в записи закона относится именно к работе, совершённой газом, а не внешними силами над ним. Поэтому знак работы зависит от того, расширяется газ или сжимается.

При изохорном процессе объём не меняется, следовательно, ΔV = 0. Работа при изменении объёма равна A = pΔV, поэтому в этом случае A = 0: перемещение границы газа отсутствует. Давление и температура могут расти, но сами по себе эти изменения не означают совершения работы. Подстановка A = 0 в первый закон даёт Q = ΔU, то есть вся переданная теплота изменяет внутреннюю энергию.

При изобарном процессе давление постоянно, поэтому работа газа равна A = pΔV. При расширении эта работа положительна, а при сжатии отрицательна. Если газ получает теплоту и расширяется, часть энергии уходит на работу, а остальная изменяет внутреннюю энергию. Из Q = ΔU + A следует ΔU = Q − pΔV, так что известную работу нужно вычесть из переданной теплоты.

Для идеального газа внутренняя энергия зависит только от температуры, а не напрямую от объёма или давления. При изотермическом процессе температура постоянна, следовательно, ΔU = 0. Первый закон тогда принимает вид Q = A: полученная газом теплота равна совершённой им работе. При расширении газу нужно передавать теплоту, чтобы температура не снижалась, а при сжатии газ отдаёт энергию в форме работы.

Знак работы удобно проверять по изменению объёма. При расширении V₂ > V₁, значит, ΔV > 0 и работа газа положительна; при сжатии V₂ < V₁, поэтому ΔV < 0 и работа газа отрицательна. Это правило согласуется с записью Q = ΔU + A: положительная работа означает, что часть энергии газ передал окружающей среде. Если в условии названа работа внешних сил, её знак противоположен работе газа.

Первый закон термодинамики для изопроцессов идеального газа

Сначала найдите в условии постоянную величину — объём, давление или температуру — и выберите строку таблицы. Затем подставьте известные данные в подходящее соотношение и проверьте знак работы по изменению объёма. В таблице для изотермического процесса приведена работа идеального газа при изменении объёма от V₁ до V₂.

Разбор задач

1. Нагревание газа при постоянном объёме

Газ нагрели при постоянном объёме и сообщили ему количество теплоты Q. Требуется найти изменение его внутренней энергии. Поскольку объём не меняется, процесс изохорный и работа газа равна нулю. Значит, теплота не расходуется на расширение и полностью изменяет внутреннюю энергию.

1. Запишем первый закон: Q = ΔU + A.
2. Для изохорного процесса A = 0.
3. Получаем ΔU = Q + 0 = Q.

Ответ: изменение внутренней энергии газа равно Q.

2. Расширение газа при постоянном давлении

Газ при постоянном давлении p расширился от объёма V₁ до V₂ и получил количество теплоты Q. Нужно найти изменение внутренней энергии. При расширении V₂ больше V₁, поэтому работа газа положительна. Из сообщённой теплоты эту работу следует вычесть.

1. Найдём изменение объёма: ΔV = V₂ − V₁.
2. Вычислим работу при постоянном давлении: A = p(V₂ − V₁).
3. Из первого закона выразим изменение энергии: ΔU = Q − A = Q − p(V₂ − V₁).

Ответ: ΔU = Q − p(V₂ − V₁). Если работа газа велика, внутренняя энергия увеличится меньше, чем на полученное количество теплоты.

3. Изотермическое расширение идеального газа

Идеальный газ изотермически расширился от V₁ до V₂; известны начальное состояние газа и отношение объёмов. Требуется определить работу и количество теплоты. Начальное состояние позволяет найти количество вещества ν и температуру T, например из уравнения p₁V₁ = νRT. Температура при расширении не меняется, поэтому для внутренней энергии ΔU = 0.

1. Найдём работу изотермического расширения: A = νRT ln(V₂/V₁).
2. При расширении V₂/V₁ > 1, поэтому логарифм положителен и A > 0.
3. Из первого закона при ΔU = 0 следует Q = A.

Ответ: A = νRT ln(V₂/V₁), а Q = νRT ln(V₂/V₁). Для численного результата нужно подставить известные ν, T и отношение объёмов, используя согласованные единицы измерения.

Типичные ошибки

Ошибка: считать работу газа положительной при сжатии. Её допускают, если не проверяют, увеличился или уменьшился объём. Для проверки вычислите ΔV = V₂ − V₁: при сжатии ΔV < 0, поэтому A = pΔV < 0.

Ошибка: подставлять работу внешних сил в Q = ΔU + A, не меняя знак. Путаница возникает потому, что внешние силы и сам газ совершают работу в противоположных направлениях. Перед расчётом уточните, чья работа дана; если это работа внешних сил, её знак противоположен работе газа.

Ошибка: утверждать, что при изохорном процессе газ совершает работу из-за изменения давления или температуры. Эти параметры действительно могут изменяться, но работа связана с изменением объёма, а не с самим изменением давления. Проверьте условие V = const: тогда ΔV = 0 и A = 0.

Ошибка: считать, что при изотермическом процессе меняется внутренняя энергия идеального газа. Обычно так рассуждают, связывая изменение энергии с изменением объёма. Однако энергия идеального газа зависит только от температуры, поэтому при T = const нужно положить ΔU = 0.

Связь с другими темами

Чтобы применять первый закон, нужно знать, что такое внутренняя энергия, теплота и работа газа, а также уметь определять состояние идеального газа по давлению, объёму и температуре. Связь этих параметров помогает находить недостающие величины в задачах на изопроцессы. Те же энергетические рассуждения понадобятся при изучении тепловых машин и циклических процессов. В них газ последовательно нагревается, расширяется, сжимается и отдаёт тепло, а первый закон помогает проследить превращения энергии.

Что запомнить

• Первый закон термодинамики: Q = ΔU + A, если A — работа газа.
• При изохорном процессе A = 0, поэтому Q = ΔU.
• При изобарном процессе A = pΔV.
• При изотермическом процессе идеального газа ΔU = 0, поэтому Q = A.
• При расширении газ совершает положительную работу, при сжатии — отрицательную.
• Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры.