§ 51. Тепловые машины. Цикл Карно

Определения и обозначения

Тепловая машина — устройство, которое за счёт передачи теплоты от нагревателя к холодильнику совершает работу. Внутри неё работает рабочее тело: обычно газ или пар, который расширяется и сжимается. Это определение показывает, откуда берётся полезная работа и почему одного источника теплоты недостаточно.

Нагреватель передаёт рабочему телу количество теплоты Q₁, а холодильнику рабочее тело отдаёт количество теплоты Q₂. Нагреватель имеет более высокую температуру, чем холодильник. Такое обозначение удобно для записи энергетического баланса машины.

КПД тепловой машины — отношение полезной работы за цикл к теплоте, полученной от нагревателя: η = A/Q₁ = (Q₁ − Q₂)/Q₁. КПД показывает, какая доля подведённой энергии превратилась в работу. Обычно его выражают числом или процентами.

Цикл Карно — обратимый цикл, состоящий из двух изотермических и двух адиабатных процессов. Изотермический процесс идёт при постоянной температуре, а при адиабатном теплообмена с окружающей средой нет. Цикл нужен как идеальный образец для определения максимально возможного КПД.

Как это устроено

Сначала рабочее тело получает теплоту от нагревателя и расширяется. При расширении оно действует на поршень или другой рабочий механизм, поэтому совершает работу. Часть энергии уходит на эту работу, но вся теплота не может остаться в рабочем теле: иначе его состояние не смогло бы периодически возвращаться к начальному.

За полный цикл газ снова имеет прежние давление, объём и температуру. Внутренняя энергия является функцией состояния, поэтому при возвращении в исходное состояние её изменение равно нулю. Из первого закона термодинамики следует баланс A = Q₁ − Q₂: работа получается из разности подведённой и отведённой теплот.

КПД меньше единицы, потому что Q₂ не может быть равным нулю для циклической тепловой машины. Холодильник принимает часть энергии и тем самым позволяет рабочему телу завершить цикл. Поэтому даже очень совершенный двигатель превращает в работу только часть теплоты Q₁.

В цикле Карно сначала происходит изотермическое расширение при температуре нагревателя. Затем газ адиабатно расширяется: тепло не подводится, а температура понижается за счёт совершения работы. Эти процессы переводят рабочее тело от горячего источника к состоянию, подходящему для контакта с холодильником.

После этого газ изотермически сжимается при температуре холодильника и отдаёт ему теплоту. Последним идёт адиабатное сжатие: без теплообмена температура повышается, и газ возвращается в начальное состояние. Цикл Карно обратим, поэтому его КПД зависит только от температур источников и задаёт верхний предел для реальных машин.

Этапы цикла Карно

Читая таблицу, сначала проследите направление изменения объёма: расширение сменяется сжатием. Затем отметьте, на каких этапах есть теплообмен с источниками, а на каких газ изолирован.

Изотермы связаны с постоянством температуры, а адиабаты — с отсутствием теплообмена. Вместе четыре этапа замыкают цикл и возвращают рабочее тело в исходное состояние.

Разбор задач

Задача 1

За цикл машина получила Q₁ = 800 Дж и передала холодильнику Q₂ = 500 Дж. Требуется найти работу и КПД. Сначала определим энергию, оставшуюся после передачи теплоты холодильнику, затем сравним её с подведённой теплотой.

1. Работа за цикл равна разности теплот: A = Q₁ − Q₂ = 800 − 500 = 300 Дж.
2. Подставим работу в формулу КПД: η = A/Q₁ = 300/800 = 0,375.
3. Переведём результат в проценты: η = 37,5%.

Ответ: A = 300 Дж, η = 37,5%. Проверка показывает, что работа меньше Q₁, поскольку 500 Дж ушло холодильнику.

Задача 2

Идеальная машина Карно работает между нагревателем с температурой 500 К и холодильником с температурой 300 К. Нужно найти её КПД. Температуры уже даны в кельвинах, поэтому дополнительный перевод не требуется.

1. Используем формулу предельного КПД: ηК = 1 − T₂/T₁.
2. Подставим значения: ηК = 1 − 300/500 = 1 − 0,6 = 0,4.
3. В процентах это 40%.

Ответ: ηК = 40%. Значит, в идеальном предельном случае в работу превращается 40% теплоты, полученной от нагревателя.

Задача 3

Машина Карно имеет КПД 40% и получает за цикл Q₁ = 1,5 кДж. Найдём работу и теплоту Q₂, переданную холодильнику. Удобно оставить энергию в килоджоулях, так как единицы уже согласованы.

1. Из определения КПД A = ηQ₁ = 0,4 · 1,5 = 0,6 кДж.
2. По балансу энергии Q₂ = Q₁ − A = 1,5 − 0,6 = 0,9 кДж.
3. При необходимости это 600 Дж работы и 900 Дж теплоты.

Ответ: A = 0,6 кДж, Q₂ = 0,9 кДж. Сумма работы и отданной теплоты равна исходным 1,5 кДж.

Типичные ошибки

Вся теплота превращается в работу. Так рассуждают, забывая о холодильнике и циклическом возвращении газа в исходное состояние. Проверьте себя по формуле A = Q₁ − Q₂: при Q₂ > 0 работа меньше Q₁.

Перепутаны Q₁ и Q₂. Индекс 1 относится к нагревателю, а индекс 2 — к холодильнику, поэтому замена меняет смысл баланса. Перед вычислением подпишите, какая теплота получена, а какая отдана.

Температуры подставлены в градусах Цельсия. Ноль по этой шкале не означает отсутствие теплового движения, поэтому отношения температур в ней неверны. Переведите значения: T = t + 273,15, а затем используйте кельвины.

КПД Карно принят за КПД любого двигателя. Цикл Карно описывает идеальную обратимую машину и даёт только верхний предел. У реального двигателя есть трение, потери тепла и необратимость, поэтому его КПД ниже.

Связь с другими темами

Для понимания тепловых машин нужны первый закон термодинамики, понятия внутренней энергии и работы газа. Изопроцессы помогают анализировать, как меняются давление, объём и температура рабочего тела.

Формула КПД Карно использует абсолютную температуру, поэтому необходимо уверенно пользоваться шкалой Кельвина. Нельзя заменять кельвины градусами Цельсия при вычислении отношения T₂/T₁.

Эти знания применяются при изучении двигателей, холодильных установок и тепловых насосов. Они позволяют сравнивать энергетическую эффективность устройств и понимать пределы их совершенствования.

Что запомнить

• Тепловая машина совершает работу за счёт передачи теплоты от нагревателя к холодильнику.
• Рабочее тело за цикл возвращается в исходное состояние.
• Работа за цикл равна разности полученной и отданной теплоты: A = Q₁ − Q₂.
• КПД тепловой машины равен η = A/Q₁.
• Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат.
• КПД Карно зависит только от абсолютных температур: ηК = 1 − T₂/T₁.
• КПД реальной машины меньше КПД Карно при тех же температурах.