8. Гравитация и Вселенная

Определения и обозначения

Закон всемирного тяготения утверждает: любые два тела притягиваются друг к другу с силой F = Gm₁m₂/r². Здесь m₁ и m₂ — массы тел, а r — расстояние между их центрами. Формула нужна, чтобы вычислять гравитационную силу и понимать, как она меняется при изменении масс или расстояния.

Гравитационная постоянная G — коэффициент в законе тяготения, одинаковый для любых тел: G = 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Она задаёт величину гравитационного взаимодействия в системе СИ. Без неё формула показывала бы только, как сила зависит от масс и расстояния, но не её численное значение.

Сила тяжести — сила, с которой планета притягивает находящееся около неё тело; у поверхности планеты её модуль равен Fтяж = mg. Здесь m — масса тела, g — ускорение свободного падения, а направление силы — к центру планеты. Эта формула позволяет связать привычный вес тела с характеристиками планеты.

Первая космическая скорость — минимальная горизонтальная скорость, необходимая телу для движения по круговой орбите около планеты. Для орбиты у поверхности v₁ = √(GM/R), где M — масса планеты, а R — её радиус. Она нужна для расчёта скорости спутника, который обращается вокруг планеты, не падая на её поверхность.

Как это устроено

Притяжение возникает не только между Землёй и предметом на ней: взаимодействовать гравитационно могут любые тела, потому что каждое из них обладает массой. Обычно мы замечаем действие планеты, поскольку её масса огромна. Притяжение небольших предметов тоже существует, но оно слишком слабо, чтобы заметно изменить их движение. Поэтому закон называют всемирным: он не ограничен небесными телами.

Закон показывает две разные зависимости силы. Если увеличить массу одного тела в несколько раз, сила возрастёт во столько же раз; если увеличить обе массы, результат учитывает их произведение m₁m₂. Расстояние входит в знаменатель в квадрате, поэтому при его увеличении сила уменьшается быстрее, чем при простой обратной зависимости. Например, увеличение расстояния вдвое ослабляет притяжение в четыре раза.

У поверхности планеты тело находится примерно на расстоянии её радиуса R от центра, если высотой тела над поверхностью можно пренебречь. Тогда закон тяготения даёт F = GMm/R², а формула силы тяжести — F = mg. Приравняем эти выражения и сократим массу тела m: получим g = GM/R². Значит, ускорение свободного падения больше у планеты с большей массой и меньше у планеты с большим радиусом при той же массе.

Спутник притягивается планетой, и именно эта сила меняет направление его скорости, создавая центростремительное ускорение. Если скорость подобрана правильно, спутник всё время движется по круговой орбите: он падает к планете, но одновременно успевает перемещаться вперёд. При недостаточной скорости орбита может пересечь поверхность, а при большей скорости траектория становится иной и спутник может удалиться. Для круговой орбиты у поверхности сила тяготения обеспечивает необходимое центростремительное ускорение.

На Земле камень падает вниз из-за притяжения планеты, а Луна и искусственные спутники обращаются вокруг Земли по той же причине. Различие движения связано не с разными законами, а с начальной скоростью тела и его расстоянием от планеты. Чем быстрее тело движется вбок, тем дальше оно успевает сместиться за время падения. Идея всемирного тяготения связывает земные явления с движением небесных тел.

Гравитационные силы и движение около планеты

Сначала выбери строку, соответствующую искомой величине, и проверь, какие данные для неё нужны. В формулах для планеты M — её масса, R — радиус, а r — расстояние между центрами двух взаимодействующих тел. Перед вычислением переведи величины в единицы СИ.

Разбор задач

Задача 1. Два тела массами 2 кг и 3 кг находятся на расстоянии 1 м друг от друга. Найти силу их гравитационного притяжения. Массы и расстояние уже заданы в единицах СИ, поэтому можно сразу использовать закон всемирного тяготения. Искомая величина — сила F.

1. Запишем формулу: F = Gm₁m₂/r².
2. Подставим данные: F = 6,67 · 10⁻¹¹ · 2 · 3 / 1² Н.
3. Перемножим значения: F = 4,002 · 10⁻¹⁰ Н, или примерно 4,0 · 10⁻¹⁰ Н.

Ответ: тела притягиваются с силой примерно 4,0 · 10⁻¹⁰ Н. Она очень мала, поэтому взаимное притяжение таких тел обычно незаметно. При подстановке важно возвести расстояние в квадрат, даже если оно равно единице.

Задача 2. Как изменится сила притяжения между двумя телами, если расстояние увеличить в 3 раза, а массу одного тела — в 2 раза? Обозначим исходную силу F, а новую — F′. Сравним формулы, не подставляя конкретные массы: так видно, во сколько раз изменится результат.

1. Увеличение одной массы вдвое увеличивает силу в 2 раза, поскольку массы входят в числитель произведением.
2. Увеличение расстояния втрое уменьшает силу в 3² = 9 раз.
3. Учтём оба изменения: F′/F = 2/9.

Ответ: новая сила составит 2/9 исходной, то есть притяжение уменьшится в 4,5 раза. Здесь важно перемножить влияние изменений, а не складывать их. Квадрат расстояния даёт более сильное ослабление, чем простое увеличение дистанции.

Задача 3. Определить ускорение свободного падения и первую космическую скорость у планеты, если известны её масса M и радиус R. Числовые значения не заданы, поэтому выразим ответы через эти величины. Сначала найдём g из закона тяготения, а затем используем связь кругового движения со скоростью.

1. На тело массы m у поверхности действует сила тяготения GMm/R² и сила тяжести mg. Приравниваем их и сокращаем m: g = GM/R².
2. Для спутника на круговой орбите у поверхности ускорение свободного падения обеспечивает центростремительное ускорение: g = v₁²/R.
3. Выразим скорость: v₁ = √(gR). Подставим найденное ускорение: v₁ = √(GM/R).

Ответ: g = GM/R², v₁ = √(GM/R). Если подставляются числовые M и R, массу берут в килограммах, радиус — в метрах, а результат для скорости получают в м/с. Корень берут из всего выражения GM/R.

Типичные ошибки

Ошибочно считать, что закон тяготения действует только между планетами и звёздами. Так думают, потому что именно крупные небесные тела создают заметную силу. На самом деле притягиваются любые тела с массой, просто для небольших предметов сила очень мала. Проверь себя: в формуле нет условия, что тело должно быть планетой.

Иногда силу считают обратно пропорциональной самому расстоянию, записывая зависимость как 1/r. Причина ошибки — забытая степень в знаменателе закона. Правильно F ∝ 1/r²: если расстояние выросло в три раза, сила стала в девять раз меньше. Для проверки отдельно возведи изменение расстояния в квадрат.

В формулу могут подставить промежуток между поверхностями тел вместо расстояния между их центрами. Это происходит, если не различать расстояние между телами и расстояние между их центрами масс. Для закона тяготения требуется именно расстояние между центрами; у шаров это расстояние между геометрическими центрами. Проверь, нужно ли к зазору между поверхностями прибавить радиусы обоих шаров.

Первую космическую скорость путают со скоростью ухода от планеты. Такое смешение понятно: обе скорости связаны с преодолением влияния гравитации, но первая нужна для круговой орбиты, а не для ухода. Проверь смысл задачи: если тело должно обращаться около планеты, ищи v₁ = √(GM/R). Для ухода от планеты требуется другая, большая скорость.

Связь с другими темами

Для изучения тяготения нужны понятия силы и массы, а также представление об ускорении свободного падения. При выводе первой космической скорости используется центростремительное ускорение — ускорение тела, движущегося по окружности и направленное к её центру. Поэтому полезно уверенно читать формулы движения и следить за единицами величин.

Закон всемирного тяготения помогает объяснять движение планет вокруг Солнца и спутников вокруг планет. Он применяется при расчёте орбит и космических полётов, а также помогает понять устройство Солнечной системы. Те же закономерности связывают падение предмета на Земле с движением далёких небесных тел.

Что запомнить

• Любые тела притягиваются друг к другу.
• Сила тяготения пропорциональна произведению масс тел.
• Сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел.
• Сила тяжести у поверхности планеты направлена к её центру.
• Ускорение свободного падения зависит от массы и радиуса планеты.
• Первая космическая скорость обеспечивает круговое движение около планеты.