8. Гравитация и Вселенная

Определения и обозначения

Всемирное тяготение — взаимное притяжение любых тел, имеющих массу. Значит, притягиваются не только Земля и Луна, но и два обычных предмета рядом; просто сила между небольшими телами обычно слишком мала, чтобы вызвать заметное движение. Это понятие помогает увидеть, что гравитация действует повсюду, а не только около Земли.

Закон всемирного тяготения описывает, как зависит сила притяжения двух тел от их масс и расстояния между ними. Сила прямо пропорциональна произведению масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел. Закон нужен, чтобы рассчитывать гравитационное взаимодействие — от притяжения предметов до движения планет.

Гравитационная постоянная — коэффициент G в формуле закона всемирного тяготения. Её значение приблизительно равно 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Постоянная нужна, чтобы по массам тел и расстоянию вычислить силу в ньютонах.

Сила тяжести — сила, с которой Земля притягивает находящееся около неё тело. Это частный случай гравитационного притяжения: одно из взаимодействующих тел здесь — Земля. Понятие используют, когда рассматривают падение тел и их весовые эффекты возле поверхности планеты.

Как это устроено

Закон всемирного тяготения записывают формулой F = Gm₁m₂/r². Здесь F — сила притяжения, m₁ и m₂ — массы двух тел, G — гравитационная постоянная, а r — расстояние между центрами тел. В формулу входит именно расстояние между центрами, потому что в простых расчётах тела считают точечными или шарообразными, а их массу — сосредоточенной в центре.

Массы входят в числитель произведением, поэтому увеличение одной массы в несколько раз во столько же раз увеличивает силу, если всё остальное не меняется. Например, если массу одного тела удвоить, произведение m₁m₂ тоже удвоится. Расстояние стоит в знаменателе в квадрате: увеличение его в n раз уменьшает силу в n² раз. Так, при увеличении расстояния втрое сила становится в девять раз меньше.

Если первое тело притягивает второе, второе одновременно притягивает первое. Эти силы равны по модулю и направлены вдоль прямой, соединяющей центры тел, но направлены в противоположные стороны. Они приложены к разным телам, поэтому не уничтожают друг друга: каждая сила может менять движение своего тела. Это соответствует третьему закону Ньютона.

Земля притягивает тела у своей поверхности, и это притяжение называют силой тяжести. Её величина зависит от массы тела и от того, насколько сильное гравитационное поле в данной точке: вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения g почти постоянно. Поэтому для обычных задач применяют формулу Fтяж = mg, где m — масса тела, а g ≈ 9,8 Н/кг. Она удобнее общей формулы, когда рассматривают тела около поверхности Земли.

Планета притягивается к Солнцу, а спутник — к планете; именно гравитационная сила изменяет направление их движения и не даёт им лететь по прямой. Для движения по орбите нужна сила, направленная к центру траектории, — центростремительная сила, и её роль выполняет притяжение. Та же гравитация заставляет отпущенное тело падать на Землю. Чем дальше спутник от центра планеты, тем слабее притяжение и тем меньше может быть обеспечиваемое им центростремительное ускорение.

Закон всемирного тяготения и сила тяжести

Таблица показывает, что сила тяжести не отменяет общий закон, а описывает его удобный частный случай. Если тела не находятся у поверхности Земли, для расчёта обычно используют закон всемирного тяготения. Сначала определите, какие именно тела взаимодействуют и какое расстояние дано в задаче.

Разбор задач

Задача 1. Два тела массами 2 кг и 3 кг находятся на расстоянии 1 м между центрами. Найдём силу их притяжения, используя G = 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Здесь уже дано нужное расстояние, поэтому можно подставлять его в закон без поправок.

1. Запишем формулу: F = Gm₁m₂/r². Она подходит, потому что требуется найти силу гравитационного притяжения двух тел.
2. Подставим данные: F = 6,67 · 10⁻¹¹ · 2 · 3 / 1² Н. Произведение масс равно 6 кг², а квадрат расстояния — 1 м².
3. Вычислим: F = 4,002 · 10⁻¹⁰ Н ≈ 4,0 · 10⁻¹⁰ Н. Единицы G вместе с единицами масс и расстояния дают ньютоны, как и должно быть для силы.

Ответ: сила притяжения приблизительно равна 4,0 · 10⁻¹⁰ Н. Она очень мала, потому что массы тел невелики, а гравитационная постоянная имеет малое значение. При этом притяжение каждого тела к другому одинаково по модулю.

Задача 2. Расстояние между двумя телами увеличили в 3 раза, массы не изменились. Нужно определить, как изменилась сила. Поскольку массы и G постоянны, сравниваем только расстояния в знаменателе формулы.

1. Обозначим начальное расстояние r, а новое — 3r. В законе тяготения знаменатель изменится с r² на (3r)².
2. Вычислим квадрат: (3r)² = 9r². Значит, при неизменных массах новая сила составит одну девятую начальной.
3. Проверим смысл результата: более далёкие тела притягиваются слабее, а зависимость определяется квадратом расстояния, не самим расстоянием.

Ответ: сила уменьшится в 9 раз. Проверка через отношение сил даёт Fнов/Fстар = r²/(3r)² = 1/9. Если бы расстояние выросло в 3 раза, а сила уменьшилась только втрое, это противоречило бы формуле.

Задача 3. Спутник движется вокруг планеты по круговой орбите. Нужно объяснить роль притяжения планеты и выяснить, как оно изменится при увеличении радиуса орбиты. Радиус орбиты измеряют от центра планеты, поэтому он и является расстоянием r в законе тяготения.

1. Притяжение планеты направлено к её центру. Оно искривляет траекторию спутника и служит центростремительной силой, необходимой для движения по окружности.
2. При неизменных массах сила равна F = Gmплmсп/r². Если радиус орбиты увеличить в k раз, расстояние тоже увеличится в k раз, а сила станет в k² раз меньше.
3. Например, при увеличении радиуса вдвое притяжение уменьшится в четыре раза. Спутник при этом продолжит двигаться по орбите, если его скорость соответствует новой орбите.

Ответ: гравитация меняет направление скорости спутника и удерживает его на орбите; при увеличении радиуса притяжение уменьшается обратно пропорционально квадрату радиуса. Нельзя подставлять в формулу высоту спутника над поверхностью вместо расстояния до центра: к высоте нужно прибавить радиус планеты.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что закон описывает только притяжение Земли. Его название может навести на такую мысль, но он относится ко всем телам с массой. Проверка простая: в формуле есть массы обоих тел, и Земля не выделена в качестве обязательного участника.

Вторая ошибка — подставлять расстояние между поверхностями тел. Так поступают, когда в условии дана высота или зазор и его принимают за r. Закон требует расстояние между центрами: для шаров к промежутку между поверхностями надо прибавить их радиусы.

Третья ошибка — считать, что при увеличении расстояния в несколько раз сила уменьшается во столько же раз. Причина в том, что зависимость обратная не просто расстоянию, а его квадрату. Чтобы проверить расчёт, возведите коэффициент изменения расстояния в квадрат: при увеличении в 2 раза сила падает в 4 раза.

Четвёртая ошибка — думать, что силы взаимодействия направлены на одно тело и потому взаимно компенсируются. На самом деле сила первого тела действует на второе, а сила второго — на первое; они равны по модулю, но приложены к разным телам. Проверяйте, к какому телу приложена каждая сила, и только тогда решайте, какие силы могут уравновеситься.

Связь с другими темами

Для изучения тяготения нужны понятия массы и силы, а также сила тяжести и третий закон Ньютона. Чтобы объяснить орбитальное движение, полезно знать движение по окружности и центростремительное ускорение: гравитация обеспечивает необходимую для него силу. Эти знания применяются при изучении искусственных спутников, космических полётов и движения небесных тел. Поэтому закон связывает обычное падение предметов с явлениями в космосе.

Что запомнить

• Все тела, имеющие массу, притягиваются друг к другу.
• Сила тяготения пропорциональна произведению масс тел.
• Сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел.
• Силы взаимного притяжения равны по модулю и направлены вдоль линии между центрами тел.
• Сила тяжести у поверхности Земли — частный случай гравитационного притяжения.
• Притяжение удерживает планеты и спутники на орбитах.