7. Движение искусственных спутников Земли

Определения и обозначения

Искусственный спутник Земли — созданное человеком тело, которое движется вокруг Земли под действием её притяжения. Спутником может быть аппарат для связи, навигации или наблюдений. Это определение помогает отличить спутник от тела, которое просто летит мимо Земли.

Орбита спутника — траектория его движения вокруг Земли; в простейшем рассмотрении её считают круговой. Радиус такой орбиты обозначают r и отсчитывают от центра Земли. Если известна высота h над поверхностью, то r = R + h, где R — радиус Земли.

Первая космическая скорость — минимальная скорость, которую нужно сообщить телу у поверхности Земли, чтобы оно стало спутником на круговой орбите. В школьной модели её обозначают v₁ и выражают через g и R. Это понятие позволяет определить скорость, необходимую для движения вокруг Земли, а не для удаления от неё.

Период обращения — время, за которое спутник совершает один полный оборот вокруг Земли. Его обозначают T и измеряют в секундах или других единицах времени. Период нужен, чтобы сравнивать, как быстро обращаются спутники на разных орбитах.

Как это устроено

Чтобы спутник двигался вокруг Земли, ему сообщают скорость, направленную горизонтально, то есть вдоль поверхности. После запуска притяжение Земли начинает искривлять его путь вниз. Однако спутник одновременно продвигается вперёд, а поверхность планеты из-за её кривизны тоже уходит вниз относительно прямого направления движения. При подходящей скорости спутник всё время падает, но не достигает поверхности.

Для круговой орбиты спутник движется с постоянной по модулю скоростью, меняя её направление. Такое движение требует центростремительной силы — силы, направленной к центру окружности. Эту роль выполняет сила тяготения Земли, поэтому их можно приравнять: GMm/r² = mv²/r. Здесь M — масса Земли, m — масса спутника, G — гравитационная постоянная, r — расстояние до центра планеты, v — скорость спутника.

Из равенства сил после сокращения массы спутника получается формула орбитальной скорости: v = √(GM/r). Она показывает, что скорость зависит от расстояния до центра Земли, а не от массы самого спутника. Когда r увеличивается, дробь GM/r уменьшается, поэтому уменьшается и скорость, необходимая для круговой орбиты. Масса аппарата на эту скорость в модели не влияет.

Чтобы найти первую космическую скорость у поверхности Земли, в формулу подставляют r = R. Ускорение свободного падения у поверхности связано с массой Земли соотношением g = GM/R². Поэтому GM/R можно заменить на gR, и получается v₁ = √(gR). Формула описывает идеализированную круговую орбиту у поверхности; в реальности мешают атмосфера и особенности запуска.

Период обращения зависит и от длины орбиты, и от скорости движения. За один оборот спутник проходит длину окружности 2πr, поэтому T = 2πr/v. На более высокой орбите путь длиннее, но скорость ниже; оба изменения увеличивают время оборота. Значит, спутники дальше от центра Земли обычно имеют больший период обращения.

Величины, описывающие движение спутника по круговой орбите

Сначала определите, какая величина известна и что требуется найти, затем выберите соответствующую формулу. Если дана высота, обязательно переведите её в радиус орбиты: r = R + h. Следите, чтобы величины были выражены в согласованных единицах, например в метрах и секундах.

Разбор задач

Задача 1. Найдите первую космическую скорость у поверхности планеты, если известны её радиус R и ускорение свободного падения g. Нужно связать скорость движения по окружности с силами, которые действуют на тело. Массу спутника можно сократить, поэтому она в ответ не войдёт.

1. Для круговой орбиты приравниваем силу тяготения и центростремительную силу: GMm/R² = mv²/R.
2. Сокращаем m и преобразуем: v² = GM/R.
3. Используем связь g = GM/R², откуда GM/R = gR. Значит, v₁ = √(gR).

Ответ: первая космическая скорость равна √(gR). Подставляя значения R и g в единицах СИ, получим скорость в метрах в секунду.

Задача 2. Спутник движется по круговой орбите на высоте h над Землёй. Найдите его скорость, если известны масса Земли M и радиус R. В формулу входит расстояние до центра планеты, а не высота над поверхностью. Поэтому прежде чем вычислять скорость, нужно определить радиус орбиты.

1. Находим расстояние от центра Земли: r = R + h.
2. Для круговой орбиты используем равенство сил: GMm/r² = mv²/r.
3. Сокращаем массу спутника и выражаем скорость: v = √(GM/r) = √(GM/(R + h)).

Ответ: v = √(GM/(R + h)). Если подставлять данные, R и h следует выразить в метрах, а M — в килограммах.

Задача 3. Спутник обращается вокруг Земли с периодом T. Найдите радиус круговой орбиты и высоту над поверхностью, если известны M и R. Здесь неизвестна скорость, поэтому выразим её через длину окружности и время одного оборота. Затем применим условие равенства сил, чтобы связать период с радиусом.

1. Из формулы периода T = 2πr/v выражаем скорость: v = 2πr/T.
2. Подставляем её в GMm/r² = mv²/r и сокращаем m. Получаем GM/r² = 4π²r/T².
3. Отсюда r³ = GMT²/(4π²), поэтому r = ∛(GMT²/(4π²)). Высота над Землёй равна h = r − R.

Ответ: r = ∛(GMT²/(4π²)), h = ∛(GMT²/(4π²)) − R. Найденный радиус измеряется от центра планеты, а высота — от её поверхности.

Типичные ошибки

Ошибка: подставлять высоту спутника вместо радиуса орбиты. Так делают, потому что высота часто дана в условии, но сила тяготения зависит от расстояния до центра Земли. Проверьте себя: если в формуле стоит r, при известной высоте должно быть r = R + h.

Ошибка: считать, что спутник не испытывает притяжения Земли. Это представление возникает из-за того, что спутник не падает на поверхность. На самом деле именно тяготение удерживает его на орбите; убедитесь, что оно выступает центростремительной силой.

Ошибка: путать первую космическую скорость со скоростью запуска на любую орбиту. Первую скорость относят к круговой орбите у поверхности в упрощённой модели, а на других расстояниях орбитальная скорость иная. Проверьте условие задачи: задана ли поверхность Земли или конкретная высота орбиты.

Ошибка: считать, что невесомость означает отсутствие силы тяжести. Такое заблуждение появляется потому, что предметы внутри спутника не прижимаются к полу. Но спутник и предметы вместе падают вокруг Земли, поэтому проверьте, что различаете силу тяжести и ощущаемый вес.

Связь с другими темами

Для описания спутников нужны сила тяготения, ускорение свободного падения, центростремительное ускорение и равномерное движение по окружности. Эти понятия позволяют объяснить, откуда берётся орбитальная скорость и почему спутник меняет направление движения. Связь с движением планет показывает, что те же физические законы действуют и для естественных небесных тел. Знание орбит помогает понять работу спутников связи, навигации и наблюдения Земли.

Что запомнить

• Искусственный спутник движется вокруг Земли под действием силы тяготения.
• Для круговой орбиты сила тяготения является центростремительной силой.
• Радиус орбиты отсчитывают от центра Земли.
• Первая космическая скорость у поверхности Земли составляет примерно 7,9 км/с.
• Орбитальная скорость уменьшается при увеличении расстояния до центра Земли.
• Период обращения — время одного полного оборота спутника.