6. Закон всемирного тяготения

Определения и обозначения

Закон всемирного тяготения: сила притяжения между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами. Иными словами, масса каждого тела усиливает притяжение, а увеличение расстояния ослабляет его. Этот закон позволяет вычислять гравитационную силу для тел разной массы и на разных расстояниях.

Гравитационная сила — сила взаимного притяжения тел, направленная вдоль прямой, соединяющей их центры. Она действует на оба тела, даже если одно из них намного массивнее другого. Понятие нужно, чтобы описывать не только падение предметов, но и взаимное влияние планет, звёзд и спутников.

Гравитационная постоянная — коэффициент G в формуле закона всемирного тяготения; G ≈ 6,67 · 10⁻¹¹ Н·м²/кг². Её единица в СИ — ньютон-метр в квадрате на килограмм в квадрате. Постоянная задаёт масштаб гравитационного взаимодействия и одинакова для любых тел.

Точечное тело — модель тела, размерами которого в данной задаче можно пренебречь по сравнению с расстоянием до другого тела. Тогда вместо сложной формы и распределения массы учитывают только положение центра и общую массу. Такое упрощение помогает применять формулу, когда размеры тел несущественны для результата.

Как это устроено

Падающие предметы показывают, что Земля притягивает тела к себе, а движение Луны и планет указывает на действие силы и на больших расстояниях. Если бы притяжение существовало только у Земли, движение небесных тел пришлось бы объяснять отдельными правилами. Идея всемирного тяготения объединяет оба наблюдения: любые тела притягиваются друг к другу, хотя сила может быть очень малой. Так один закон описывает явления на Земле и в космосе.

Количественно закон записывают так: F = Gm₁m₂/r². Здесь F — модуль силы в ньютонах, m₁ и m₂ — массы в килограммах, r — расстояние между центрами в метрах, а G — гравитационная постоянная в Н·м²/кг². В формулу подставляют величины в единицах СИ, чтобы результат получился в ньютонах. Направление силы определяют отдельно: она направлена к другому телу вдоль линии центров.

Произведение масс стоит в числителе, потому что каждое тело создаёт притяжение, а увеличение любой массы усиливает взаимодействие. Если одну массу увеличить в несколько раз при неизменных остальных величинах, во столько же раз возрастёт сила. Расстояние стоит в знаменателе в квадрате: при увеличении r в n раз сила уменьшается в n² раз. Например, удвоение расстояния даёт четверть исходной силы, а не половину.

Тела притягиваются попарно: Земля действует на предмет, и предмет действует на Землю. По третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю и противоположны по направлению, поскольку возникают при одном взаимодействии. Поэтому нельзя говорить, что тяготение действует только на более массивное тело. Ускорения тел при этом могут различаться: одинаковые силы сообщают разным массам разные ускорения.

Точечной моделью пользуются, когда размеры тел малы по сравнению с расстоянием между ними, либо когда важны только их центры и массы. Для протяжённых тел нужно учитывать, как масса распределена по объёму. Вне однородного шара гравитационное действие такое же, как у точечного тела с массой этого шара, помещённого в его центре. Поэтому для тела на поверхности планеты расстояние r в формуле равно радиусу планеты, а не высоте над поверхностью.

Величины и зависимости в законе всемирного тяготения

Перед решением сначала найдите в условии обе массы и расстояние между центрами, затем проверьте единицы. Формула показывает, какие изменения увеличивают силу, а какие уменьшают её. По таблице удобно проверить обозначения и не забыть, что расстояние возводится в квадрат.

Разбор задач

Задача 1. Два тела массами 2 кг и 3 кг находятся на расстоянии 1 м между центрами. Найдём силу их притяжения. Все величины уже даны в единицах СИ, поэтому их можно сразу подставить в формулу.

1. Запишем закон: F = Gm₁m₂/r².
2. Подставим числа: F = 6,67 · 10⁻¹¹ · 2 · 3 / 1² Н.
3. Вычислим произведение: F ≈ 4,0 · 10⁻¹⁰ Н.

Ответ: сила притяжения равна примерно 4,0 · 10⁻¹⁰ Н. Она мала, потому что массы тел невелики. При вычислении важно сохранить квадрат расстояния в знаменателе.

Задача 2. Массу одного тела увеличили в 4 раза, а расстояние между центрами — в 2 раза. Требуется сравнить новую силу с первоначальной. Масса второго тела и постоянная G не меняются, поэтому достаточно проследить за двумя изменившимися множителями формулы.

1. Увеличение одной массы в 4 раза умножает силу на 4.
2. Увеличение расстояния в 2 раза увеличивает r² в 4 раза, поэтому сила делится на 4.
3. Общий множитель равен 4/4 = 1, значит, сила не изменится.

Ответ: сила останется прежней. Увеличение массы усиливает притяжение ровно настолько, насколько квадрат увеличенного расстояния его ослабляет. Сравнение множителей избавляет от необходимости подставлять конкретные массы.

Задача 3. Известны масса тела на поверхности планеты m, радиус планеты R и сила притяжения F. Найдём массу планеты M. Считаем планету однородным шаром: тогда её притяжение снаружи рассчитывается так, как если бы масса находилась в центре, а расстояние между центрами равно R.

1. Запишем формулу: F = GMm/R².
2. Чтобы выразить M, умножим обе части на R² и разделим на Gm: M = FR²/(Gm).
3. Подставим известные величины в СИ и вычислим результат в килограммах.

Ответ: масса планеты M = FR²/(Gm). Такой порядок действий сохраняет все множители и показывает, почему нужен именно радиус, а не расстояние от поверхности до тела. Численное значение можно найти после подстановки данных задачи.

Типичные ошибки

Подстановка расстояния от поверхности вместо расстояния между центрами — частая ошибка при работе с планетами и шарами. Её допускают, принимая высоту или зазор между телами за r. Для точечных моделей измерьте промежуток от центра одного тела до центра другого; у тела на поверхности шара расстояние до центра равно радиусу шара.

Если использовать расстояние в первой степени, результат будет неверно зависеть от удаления тел. Так ошибаются, забывая, что в формуле стоит r². Проверьте запись до вычисления: знаменатель должен содержать квадрат, а удвоение расстояния должно уменьшать силу в четыре раза.

Иногда силу приписывают только одному телу, например Земле, потому что именно на ней заметно ускорение. Однако предмет тоже притягивает Землю; силы равны по модулю и противоположны по направлению. Чтобы проверить себя, вспомните третий закон Ньютона: взаимодействующие тела действуют друг на друга попарно.

Подстановка массы в граммах или расстояния в километрах без перевода нарушает единицы СИ. Ошибка возникает, когда числа выглядят привычно и их сразу вводят в формулу. Перед расчётом запишите массы в килограммах, расстояние в метрах и проверьте размерность постоянной G.

Связь с другими темами

Для изучения закона нужны понятия силы, массы и расстояния: они входят в формулу и помогают описать взаимодействие. Равнодействующая сил позволяет учитывать гравитацию вместе с другими воздействиями, а третий закон Ньютона объясняет, почему тела действуют друг на друга попарно. Закон тяготения применяют, чтобы объяснять движение планет и спутников, а также связывать притяжение планеты с ускорением свободного падения. Поэтому он соединяет механику земных явлений с движением небесных тел.

Что запомнить

• Все тела притягиваются друг к другу.
• Модуль силы тяготения равен F = Gm₁m₂/r².
• Сила пропорциональна каждой из масс.
• Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами тел.
• Силы взаимного притяжения двух тел равны по модулю и противоположны по направлению.
• Для расчётов используют гравитационную постоянную G и единицы СИ.