§ 1.2. Основной закон электростатики — закон Кулона

Определения и обозначения

Электрический заряд — физическая величина, характеризующая способность тел участвовать в электромагнитном взаимодействии; его обозначают q и измеряют в кулонах (Кл). Заряды бывают положительными и отрицательными. Это понятие позволяет количественно описывать взаимодействие электрически заряженных тел.

Точечный заряд — модель заряженного тела, размерами которого в условиях задачи можно пренебречь по сравнению с расстоянием до других зарядов. Например, маленький шарик можно считать точечным, если он находится далеко от рассматриваемых тел. Такая модель упрощает расчёт расстояния и силы.

Сила электростатического взаимодействия — векторная сила притяжения или отталкивания неподвижных электрических зарядов. Вектор имеет не только величину, но и направление. Поэтому для полного описания взаимодействия нужно найти модуль силы и указать, куда она направлена.

Закон Кулона — закон, определяющий модуль и направление силы взаимодействия двух точечных зарядов. Он связывает силу с величинами зарядов, расстоянием между ними и свойствами среды. С его помощью решают задачи о взаимодействии зарядов и далее изучают электрическое поле.

Как это устроено

Заряженные тела воздействуют друг на друга, поэтому для описания этого воздействия используют силу — величину, которая показывает, насколько сильно и в каком направлении одно тело действует на другое. В электростатике рассматривают неподвижные заряды, чтобы не учитывать эффекты, связанные с их движением. Тело считают точечным, если его размеры намного меньше расстояния до других зарядов. Тогда его форму и распределение заряда внутри можно не учитывать.

Зависимость силы от зарядов и расстояния была установлена экспериментально. Если расстояние между зарядами не менять, увеличение одного заряда в несколько раз во столько же раз увеличивает силу. При изменении обоих зарядов их влияние перемножается, поэтому модуль силы пропорционален |q₁q₂|. Если же заряды оставить прежними, увеличение расстояния ослабляет взаимодействие по закону обратного квадрата: расстояние выросло вдвое — сила уменьшилась в четыре раза.

Для двух точечных зарядов в вакууме модуль силы записывают так: F = k|q₁q₂|/r². Здесь r — расстояние между зарядами, а k — коэффициент пропорциональности. Вектор силы направлен вдоль прямой, соединяющей заряды; на каждый заряд действует своя сила. Эти две силы равны по модулю и противоположны по направлению.

Модуль силы не может быть отрицательным, поэтому в формуле используют абсолютные величины зарядов. Их знаки нужны, чтобы определить характер взаимодействия: одинаковые знаки соответствуют отталкиванию, разные — притяжению. Произведение q₁q₂ положительно для одноимённых зарядов и отрицательно для разноимённых. Само по себе это произведение не заменяет указание направления вектора силы.

В веществе взаимодействие зарядов отличается от взаимодействия в вакууме: среда ослабляет электрическую силу. Это учитывают относительной диэлектрической проницаемостью ε: в однородной среде F = k|q₁q₂|/(εr²). Если зарядов несколько, на выбранный заряд действует сила от каждого из них. По принципу суперпозиции результирующую силу находят векторным сложением этих отдельных сил.

Зависимость силы Кулона от зарядов, расстояния и среды

Чтобы оценить результат изменения параметра, сравни его с формулой F = k|q₁q₂|/(εr²): заряды входят в числитель, а расстояние и проницаемость — в знаменатель. Знаки зарядов и направление силы не меняют её модуль, но помогают понять, как именно взаимодействуют тела. В расчётах сначала переведи все величины в единицы СИ.

Разбор задач

Задача 1. Сила между двумя зарядами

Два точечных заряда 2 нКл и 3 нКл находятся в вакууме на расстоянии 10 см. Найдём модуль силы и определим характер взаимодействия. В условии оба заряда положительны, поэтому они одноимённые. Перед вычислением переведём заряды и расстояние в основные единицы.

1. Переводим единицы: q₁ = 2·10⁻⁹ Кл, q₂ = 3·10⁻⁹ Кл, r = 0,10 м.
2. Подставляем в закон Кулона: F = 9·10⁹·|2·10⁻⁹·3·10⁻⁹|/(0,10)².
3. Вычисляем: F = 5,4·10⁻⁶ Н. Поскольку знаки зарядов одинаковы, они отталкиваются.

Ответ: модуль силы равен 5,4·10⁻⁶ Н; заряды отталкиваются. Проверка порядка величины помогает заметить ошибку: нанокулоны очень малы, поэтому полученная сила значительно меньше одного ньютона. Направления сил на заряды противоположны.

Задача 2. Влияние среды

Заряды q₁ и q₂ находятся в жидкости с относительной диэлектрической проницаемостью ε = 4. Нужно сравнить силу с силой в вакууме, не меняя заряды и расстояние. Поскольку все остальные величины одинаковы, отношение сил определяется только проницаемостью. Для вакуума принимаем ε = 1.

1. Записываем для вакуума: F₀ = k|q₁q₂|/r².
2. Для жидкости используем формулу F = k|q₁q₂|/(εr²).
3. Находим отношение: F/F₀ = 1/ε = 1/4.

Ответ: в жидкости сила составляет четверть силы в вакууме, то есть уменьшается в 4 раза. Заряды и расстояние не изменились, поэтому пересчитывать их значения не требуется. Вывод относится к однородной среде с заданной относительной диэлектрической проницаемостью.

Задача 3. Сила на среднем заряде

Три точечных заряда расположены на одной прямой: левый q₁, средний q₂ и правый q₃. Известны величины зарядов и расстояния r₁₂ и r₂₃ между соседними зарядами; требуется найти силу, действующую на q₂. Числовых данных в условии нет, поэтому запишем общий порядок решения. Сначала важно определить направления обеих сил по знакам зарядов.

1. Находим модуль силы со стороны левого заряда: F₁₂ = k|q₁q₂|/r₁₂².
2. Находим модуль силы со стороны правого заряда: F₃₂ = k|q₃q₂|/r₂₃².
3. Определяем направления: одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются. Выбираем направление вправо за положительное: силы, направленные вправо, берём со знаком «+», влево — со знаком «−».
4. Складываем проекции: Fрез = F₁₂,x + F₃₂,x. Если силы направлены одинаково, их модули складываются; если противоположно — из большего вычитается меньший.

Ответ: результирующая сила равна алгебраической сумме проекций двух сил на выбранную ось, а её знак указывает направление. После подстановки чисел расстояния нужно выразить в метрах, а заряды — в кулонах. Складывать только модули без проверки направлений нельзя.

Типичные ошибки

Подстановка неверного расстояния приводит к неправильной силе: например, вместо расстояния между точечными зарядами берут диаметр тела. Так ошибаются, когда не отделяют расстояние между центрами зарядов от размера самих тел. Проверь, что r измерено именно между зарядами и соответствует условиям модели точечных зарядов.

Если забыть возвести расстояние в квадрат, получится зависимость 1/r вместо 1/r². Эту ошибку легко пропустить при спешке или переносе формулы в вычисления. Перед подстановкой перепиши закон целиком, а затем проверь: увеличение r вдвое должно уменьшать силу в четыре раза.

Подстановка отрицательного произведения зарядов в формулу для модуля даёт ошибочный отрицательный результат. Причина в смешении величины силы и её направления. Для модуля используй |q₁q₂|, а притяжение или отталкивание определяй отдельно по знакам зарядов.

При нескольких зарядах нельзя просто сложить найденные модули сил. Направления могут совпадать или быть противоположными, поэтому результат зависит от расположения зарядов и их знаков. Нарисуй линию с зарядами, обозначь каждую силу стрелкой и только затем сложи векторы или их проекции.

Связь с другими темами

Для работы с законом Кулона нужны понятия электрического заряда, силы и вектора, а также умение видеть пропорциональность величин и переводить единицы в СИ. Особенно часто приходится переводить нанокулоны и микрокулоны в кулоны, а сантиметры — в метры. Закон Кулона служит основой для введения напряжённости электрического поля и расчёта поля системы зарядов.

Закон пригодится и при изучении электрического потенциала, энергии взаимодействия зарядов и движения заряженных частиц. Те же идеи применяются при объяснении работы конденсаторов. Понимание силы взаимодействия помогает связать эти темы с исходными величинами — зарядами и расстояниями между ними.

Что запомнить

• Закон Кулона описывает взаимодействие двух неподвижных точечных зарядов.
• Модуль силы равен F = k|q₁q₂|/r².
• Сила прямо пропорциональна модулям обоих зарядов.
• Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами.
• Одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются.
• В однородной среде сила уменьшается в ε раз по сравнению с вакуумом.
• При взаимодействии нескольких зарядов результирующая сила равна векторной сумме отдельных сил.