§ 87. Основной закон электростатики — закон Кулона

Определения и обозначения

Точечный заряд — модель заряженного тела, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием до других тел. Такое приближение допустимо, когда расстояние между телами значительно больше их размеров. Оно заменяет сложное распределение заряда одной точкой.

Закон Кулона утверждает: сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Закон нужен, чтобы количественно находить электростатическую силу. Он работает в простейшем случае взаимодействия неподвижных зарядов.

Кулоновская сила — сила электростатического взаимодействия зарядов. Она направлена вдоль прямой, соединяющей заряды: одноимённые заряды отталкиваются, а разноимённые притягиваются. На каждый заряд действуют силы одинакового модуля и противоположных направлений.

Электрическая постоянная ε₀ входит в коэффициент закона Кулона для вакуума. Относительная диэлектрическая проницаемость ε показывает, во сколько раз среда ослабляет взаимодействие по сравнению с вакуумом. Поэтому в среде в знаменателе появляется множитель ε.

Как это устроено

Учёные изучали, как взаимодействуют неподвижные заряженные тела, и сравнивали силу при изменении условий опыта. Если один заряд увеличивали, сила возрастала во столько же раз, а при изменении обоих зарядов учитывалось их произведение. Это привело к зависимости F ∝ |q₁q₂|. Такой результат означает, что каждый заряд вносит самостоятельный вклад в величину взаимодействия.

При изменении расстояния между заряженными телами обнаружили другую закономерность: сила уменьшается быстрее, чем просто при обратной пропорциональности расстоянию. Увеличение расстояния в два раза уменьшает силу в четыре раза, а увеличение в три раза — в девять. Поэтому в формуле стоит r². Экспериментальная зависимость позволяет предсказывать силу и для других расстояний.

Реальные тела имеют размеры и могут обладать неодинаковым распределением заряда. Точный расчёт тогда потребовал бы рассматривать действие отдельных частей тела друг на друга. Если размеры тел малы по сравнению с расстоянием между ними, это распределение можно заменить зарядом, сосредоточенным в одной точке, и использовать закон Кулона.

Для вакуума модуль силы записывают так: F = k|q₁q₂|/r², где k = 1/(4πε₀) ≈ 9·10⁹ Н·м²/Кл². Заряды q₁ и q₂ измеряются в кулонах, расстояние r — в метрах, а результат F получается в ньютонах. Модули нужны потому, что эта запись определяет только величину силы, без её направления.

Направление силы устанавливают после вычисления модуля. Линия действия проходит через оба заряда, поскольку именно положение зарядов задаёт направление их взаимного воздействия. Одинаковые знаки дают отталкивание, разные — притяжение. В однородной среде сила уменьшается в ε раз: F = k|q₁q₂|/(εr²), потому что вещество ослабляет электрическое взаимодействие.

Закон Кулона: величины, обозначения и зависимости

Сначала определите, какие величины известны и в каких единицах они заданы. Для нахождения модуля силы используйте модули зарядов, а знак каждого заряда применяйте отдельно. Если заряды находятся не в вакууме, не забудьте множитель ε в знаменателе.

Таблица помогает быстро проверить обозначения и зависимости. По строке о расстоянии можно понять, как изменится результат при масштабировании r, а по строке о среде — как учесть диэлектрик. Направление силы всегда устанавливается после вычисления её модуля.

Разбор задач

1. Сила двух зарядов в вакууме

Даны заряды 2 нКл и 3 нКл, расстояние между ними равно 0,3 м. Требуется найти модуль силы взаимодействия в вакууме. Нанокулоны нужно перевести в кулоны, потому что значение k выражено в единицах СИ.

1. Переведём заряды: q₁ = 2·10⁻⁹ Кл, q₂ = 3·10⁻⁹ Кл.
2. Запишем закон: F = k|q₁q₂|/r².
3. Подставим значения: F = 9·10⁹·(2·10⁻⁹·3·10⁻⁹)/(0,3)² = 6·10⁻⁷ Н.

Ответ: модуль силы равен 6·10⁻⁷ Н. Характер взаимодействия зависит от знаков зарядов, которых в условии нет.

2. Направление сил разноимённых зарядов

Пусть два разноимённых точечных заряда находятся на заданном расстоянии в вакууме. Сначала нужно найти модуль силы по величинам зарядов и расстоянию. Затем по знакам определить направление действия на каждый заряд.

1. Переведём все значения в СИ и подставим модули зарядов в формулу F = k|q₁q₂|/r².
2. Полученный результат будет модулем силы, действующей на каждый заряд.
3. Так как заряды разноимённые, они притягиваются: сила на первый заряд направлена к второму, а сила на второй — к первому.

Ответ: модуль каждой силы находят по закону Кулона, а направления противоположны и направлены навстречу друг другу. Это согласуется с третьим законом Ньютона.

3. Изменение силы при изменении расстояния и среды

В вакууме силу измерили при расстоянии r. Сначала расстояние увеличивают в два раза, затем заряды помещают в среду с диэлектрической проницаемостью ε. Нужно сравнить новый результат с исходной силой F₀.

1. При расстоянии 2r сила становится F₁ = F₀/2² = F₀/4.
2. После помещения в среду сила дополнительно уменьшается в ε раз: F₂ = F₁/ε.
3. Объединяем изменения: F₂ = F₀/(4ε).

Ответ: после обоих изменений сила станет в 4ε раз меньше исходной. Здесь не требуется знать сами заряды, поскольку используется пропорциональность F ∝ 1/r² и влияние среды.

Типичные ошибки

Забывают возвести расстояние в квадрат, потому что мысленно используют обратную пропорциональность r, а не 1/r². Проверьте формулу перед подстановкой и отдельно вычислите r². Особенно легко ошибиться, если расстояние дробное.

Не переводят нанокулоны или микрокулоны в кулоны, поскольку в условии привычнее оставлять приставки. Это даёт ошибку на несколько степеней десяти. Перед расчётом выпишите q в кулонах и оцените порядок ответа.

Подставляют знаки зарядов прямо в формулу модуля силы, смешивая величину и направление. В выражении F = k|q₁q₂|/r² используйте модули, а притяжение или отталкивание определяйте по знакам отдельно. Проверьте, указано ли направление после численного ответа.

Применяют закон без оговорок к телам любой формы, хотя формула непосредственно относится к точечным зарядам. Ошибка возникает, когда размеры тел сравнимы с расстоянием или заряд распределён несимметрично. Сначала оцените размеры тел и обоснованность приближения.

Связь с другими темами

До закона Кулона нужно знать, что такое электрический заряд, какие бывают его знаки и в каких единицах его измеряют. Кулон — единица заряда в Международной системе единиц. Эти знания позволяют правильно читать q₁ и q₂ в формуле.

При решении задач понадобятся пропорциональные зависимости и перевод величин в СИ. Нужно уверенно работать со степенями десяти, квадратами чисел и приставками нано- и микро-. Это помогает избежать ошибок в численных ответах.

Закон Кулона станет основой для изучения электрического поля и принципа суперпозиции. С его помощью также анализируют движение заряженных частиц под действием электрических сил. Позже сила взаимодействия будет связываться с напряжённостью поля.

Что запомнить

• Закон Кулона описывает взаимодействие неподвижных точечных зарядов.
• Модуль силы в вакууме равен F = k|q₁q₂|/r².
• Сила прямо пропорциональна произведению модулей зарядов.
• При увеличении расстояния в несколько раз сила уменьшается пропорционально квадрату этого множителя.
• Одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются.
• Сила направлена вдоль прямой, соединяющей заряды.
• В однородной среде сила уменьшается в ε раз по сравнению с вакуумом.