§ 1.23. Примеры решения задач

Определения и обозначения

Сила Ампера — сила, действующая на проводник с током в магнитном поле. Её модуль вычисляют по формуле FА = BIl sin α, где α — угол между проводником и вектором магнитной индукции. Она нужна, чтобы определить действие поля на участок цепи, а направление находят по правилу левой руки.

Сила Лоренца — сила, действующая на движущийся заряд в магнитном поле. Её модуль равен FЛ = |q|vB sin α и зависит от модуля заряда, скорости частицы и магнитной индукции. Эта формула позволяет понять, как поле отклоняет электрон, протон или другую заряженную частицу.

Магнитная индукция B — векторная величина, характеризующая магнитное поле. Она показывает, насколько сильно поле действует на ток и движущийся заряд, а её направление совпадает с направлением линий магнитного поля. Единица магнитной индукции — тесла, Тл.

Радиус траектории заряженной частицы — радиус окружности, по которой частица движется при влёте перпендикулярно линиям магнитного поля. Он определяется равенством магнитной и центростремительной сил: R = mv/(|q|B). Радиус нужен для описания искривления пути частицы.

Как это устроено

Решение начинают с краткой записи условия, перевода всех величин в СИ и схемы. На схеме отмечают скорость, направление тока или заряда и вектор магнитной индукции. Это помогает не перепутать единицы и увидеть, какой угол дан в задаче.

Затем физическую ситуацию связывают с подходящим законом. Если поле действует на проводник с током, используют силу Ампера, а если на отдельный движущийся заряд — силу Лоренца. Различие связано с объектом действия: ток представляет упорядоченное движение множества зарядов в проводнике, а сила Лоренца описывает один заряд.

Векторную формулу переводят в скалярную только после определения угла между проводником или скоростью и магнитным полем. Синус появляется потому, что поле действует на перпендикулярную составляющую: она равна l sin α для проводника или v sin α для частицы. При α = 0° эта составляющая исчезает, а при α = 90° становится максимальной.

Если частица летит под углом к линиям поля, её скорость раскладывают на две составляющие: v⊥ = v sin α и v∥ = v cos α. Первая вызывает движение по окружности, а вторая не отклоняется и сохраняет равномерное перемещение вдоль поля. Поэтому сложение этих движений даёт винтовую траекторию.

Результат проверяют несколькими способами. Размерность должна соответствовать искомой величине, направление силы — быть перпендикулярным скорости и полю, а при параллельном движении сила должна обратиться в ноль. Такие проверки часто обнаруживают ошибку ещё до окончательной записи ответа.

Основные формулы и приёмы решения задач о действии магнитного поля

В таблице сначала найдите физическую ситуацию, описанную в условии, а затем выберите соответствующую формулу. Угол α всегда отсчитывается между направлением проводника или скорости и магнитной индукцией. В последнем столбце указана единица искомого результата.

Разбор задач

1. Сила Ампера

Условие: l = 20 см, B = 0,4 Тл, I = 5 А, α = 90°. Требуется найти силу Ампера. Сначала переводим длину: l = 0,20 м.

1. Используем формулу FА = BIl sin α.
2. Так как sin 90° = 1, подставляем данные: FА = 0,4 · 5 · 0,20 = 0,40 Н.
3. Направление силы определяют правилом левой руки; оно перпендикулярно проводнику и магнитному полю.

Ответ: FА = 0,40 Н.

2. Протон влетает перпендикулярно полю

Условие: v = 2·10⁶ м/с, B = 0,5 Тл, q = 1,6·10⁻¹⁹ Кл, m = 1,67·10⁻²⁷ кг. Поскольку скорость перпендикулярна полю, частица движется по окружности. Нужно найти её радиус и период.

1. Приравниваем силу Лоренца к центростремительной: qvB = mv²/R, поэтому R = mv/(qB).
2. Подстановка даёт R = (1,67·10⁻²⁷ · 2·10⁶)/(1,6·10⁻¹⁹ · 0,5) ≈ 4,2·10⁻² м.
3. Период находим по формуле T = 2πm/(qB): T ≈ 1,3·10⁻⁷ с.

Ответ: R ≈ 4,2 см, T ≈ 1,3·10⁻⁷ с.

3. Частица влетает под углом

Условие: частица имеет скорость v и влетает под углом α = 60° к полю; известны m, |q| и B. Разлагаем скорость, потому что разные её составляющие вызывают разные виды движения.

1. Перпендикулярная составляющая равна v⊥ = v sin 60° = √3v/2, поэтому R = mv⊥/(|q|B) = √3mv/(2|q|B).
2. Параллельная составляющая равна v∥ = v cos 60° = v/2 и не меняет направления движения вдоль поля.
3. Период вращения T = 2πm/(|q|B), а шаг спирали h = v∥T = πmv/(|q|B).

Ответ: траектория винтовая, R = √3mv/(2|q|B), T = 2πm/(|q|B), h = πmv/(|q|B).

Типичные ошибки

Неверный угол. Иногда берут угол между скоростью и другой линией на рисунке, а не между скоростью и магнитным полем. Ошибка возникает из-за невнимательного чтения схемы; проверьте, что α стоит именно между векторами в формуле.

Неподходящая сила. Силу Лоренца нельзя применять к покоящемуся заряду, а силу Ампера — к отдельной частице. Причина ошибки — смешение понятий тока и движения одного заряда; сначала назовите физический объект.

Забытый знак заряда. Правило направления сначала применяют к положительному заряду, а для отрицательного направление меняют на противоположное. Проверить себя можно сравнением с направлением движения электрона и протона.

Изменение скорости магнитным полем. Иногда считают, что поле разгоняет частицу. Но сила Лоренца перпендикулярна скорости, поэтому в идеальном магнитном поле меняется направление движения, а не модуль скорости.

Связь с другими темами

Для решения нужны векторное сложение, движение по окружности, второй закон Ньютона, единицы СИ и правила определения направлений векторов. Эти задачи продолжают изучение закона Ампера, силы Лоренца и магнитного поля.

Полученные формулы применяются при изучении масс-спектрографа и циклотрона, а также работы электродвигателей. Движение заряженных частиц в магнитном поле связывает механику с электродинамикой.

Что запомнить

• Сначала составляют схему и переводят данные в СИ.
• Сила Ампера действует на проводник с током.
• Сила Лоренца действует на движущийся заряд.
• Магнитная сила пропорциональна синусу угла между движением или током и магнитным полем.
• При движении заряда перпендикулярно полю траектория является окружностью.
• При движении под углом к полю частица движется по винтовой линии.
• Результат нужно проверять по единицам, направлению и предельным случаям.