§ 1.28. Примеры решения задач

Определения и обозначения

Закон Кулона связывает силу взаимодействия точечных зарядов с их величинами и расстоянием: F = k|q₁q₂|/r². Сила растёт при увеличении зарядов и уменьшается с квадратом расстояния. Закон нужен, чтобы вычислять модуль силы и устанавливать, притягиваются заряды или отталкиваются.

Напряжённость электрического поля — силовая характеристика поля, равная отношению силы к положительному пробному заряду: E = F/q. Для точечного заряда E = k|q|/r². Зная напряжённость в точке, силу находят по формуле F = |q|E, а её направление определяют по знаку заряда.

Принцип суперпозиции электрических полей утверждает, что результирующая напряжённость равна векторной сумме напряжённостей от отдельных зарядов: E⃗ = E⃗₁ + E⃗₂ + … . Сначала находят вклад каждого источника, затем учитывают направления векторов. Это позволяет решать задачи с несколькими зарядами.

Потенциал электрического поля — энергетическая характеристика, равная потенциальной энергии единичного положительного заряда. Разность потенциалов показывает, какую работу совершает поле при перемещении заряда: A = q(φ₁ − φ₂). Поэтому потенциал особенно удобен в задачах на работу и изменение энергии.

Как это устроено

Решение начинают с выделения известных и искомых величин, потому что условие часто содержит лишние данные или величины в разных единицах. Все расстояния переводят в метры, заряды — в кулоны, силы — в ньютоны. После этого записывают краткое условие и только затем выбирают формулу.

Физическая модель зависит от соотношения размеров и расстояний. Если размеры заряженных тел намного меньше расстояния между ними, распределением заряда можно пренебречь и считать тела точечными. Это позволяет применять простые формулы для точечного заряда, не описывая форму тела и распределение заряда.

Силы и напряжённости являются векторами, поэтому одного вычисления модулей недостаточно. Сначала выясняют направление каждого вектора по знакам зарядов и положению точки, а затем выбирают сложение по одной прямой или теорему Пифагора. Такой порядок предотвращает ошибку, когда противоположно направленные величины складывают как положительные числа.

При нескольких источниках поля применяют принцип суперпозиции, потому что каждый заряд создаёт поле независимо от остальных. Для каждого источника отдельно находят модуль Eᵢ и направление, а затем складывают векторы. Если точка лежит на одной прямой с зарядами, удобно выбрать положительное направление оси и записывать проекции с учётом знаков.

После выбора закона уравнения сначала записывают в общем виде, а числа подставляют позднее. Это показывает логику решения и помогает сократить выражение до вычислений. В конце проверяют единицы, знак, порядок величины и соответствие ответа физической ситуации.

Основные этапы решения задач по электростатике

Таблицу можно использовать как короткий алгоритм перед каждой задачей. Если на каком-то этапе возникает сомнение, не переходите к вычислениям: сначала уточните модель и направления. После получения ответа пройдите последние два этапа ещё раз.

Разбор задач

Сила взаимодействия двух зарядов

Два точечных заряда q₁ = 2 мкКл и q₂ = −3 мкКл находятся на расстоянии r = 20 см. Требуется найти модуль силы взаимодействия и определить характер взаимодействия. Размеры зарядов считаем пренебрежимо малыми по сравнению с расстоянием.

1. Переводим данные в СИ: q₁ = 2·10⁻⁶ Кл, q₂ = −3·10⁻⁶ Кл, r = 0,20 м.
2. Применяем закон Кулона: F = k|q₁q₂|/r² = 9·10⁹·6·10⁻¹²/0,04 = 1,35 Н.
3. Заряды имеют разные знаки, поэтому силы направлены навстречу друг другу.

Ответ: F = 1,35 Н; заряды притягиваются.

Результирующая напряжённость

Заряды q₁ = +4 нКл и q₂ = +9 нКл расположены на одной прямой на расстоянии 30 см. Нужно найти напряжённость в точке между ними, удалённой от первого заряда на 10 см. Выберем направление от первого заряда ко второму за положительное.

1. Расстояния до точки: r₁ = 0,10 м, r₂ = 0,20 м; заряды переводим в кулоны.
2. Находим модули: E₁ = kq₁/r₁² = 3600 Н/Кл, E₂ = kq₂/r₂² = 2025 Н/Кл.
3. От положительных зарядов поле направлено наружу, поэтому в точке между ними E₁ направлена вправо, а E₂ — влево. Следовательно, E = E₁ − E₂ = 1575 Н/Кл и направлена к второму заряду.

Ответ: E = 1,575·10³ Н/Кл, направление — от первого заряда ко второму.

Работа поля и изменение энергии

Заряд q = 2 мКл перемещают из точки с потенциалом φ₁ = 120 В в точку с потенциалом φ₂ = 40 В. Требуется найти работу поля и изменение потенциальной энергии заряда. Перемещение происходит от большего потенциала к меньшему.

1. Используем разность потенциалов: φ₁ − φ₂ = 80 В, а заряд переводим в СИ: q = 2·10⁻³ Кл.
2. Работа поля A = q(φ₁ − φ₂) = 2·10⁻³·80 = 0,16 Дж.
3. Изменение потенциальной энергии противоположно работе поля: ΔEп = −A = −0,16 Дж.

Ответ: поле совершает работу 0,16 Дж, потенциальная энергия уменьшается на 0,16 Дж.

Типичные ошибки

Подстановка расстояния в сантиметрах или заряда в микрокулонах без перевода в СИ меняет результат на множитель 10² или 10⁶. Ошибку допускают из-за механической подстановки в формулу. Проверьте, что перед вычислением r выражено в метрах, а q — в кулонах.

Сложение модулей напряжённостей без учёта направлений даёт неверный результат, если векторы направлены противоположно. Такая ошибка возникает, когда знак заменяют модулем слишком рано. Нарисуйте направления или выберите ось и сложите проекции.

Силу, действующую на заряд, путают с напряжённостью поля, хотя F = |q|E, а E не зависит от пробного заряда. Причина — похожие единицы и обозначения в разных формулах. Проверьте размерность: сила измеряется в ньютонах, напряжённость — в Н/Кл.

Знак работы или потенциальной энергии теряют, не указав начальную и конечную точки. При движении по направлению поля работа положительна, а потенциальная энергия уменьшается. Подставьте потенциалы в A = q(φ₁ − φ₂) и отдельно проверьте физический смысл знака.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны закон Кулона, понятие напряжённости и принцип суперпозиции электрических полей. Они объясняют, откуда берутся силы и как складываются поля нескольких зарядов. Без определения направлений невозможно корректно решить даже простую задачу.

Задачи на работу поля связаны с потенциальной энергией и разностью потенциалов. Переход от силы к энергии позволяет решать задачи через начальную и конечную точки, не описывая каждый участок пути. Знак работы показывает, увеличивается или уменьшается энергия заряда.

Составление уравнений и проверка размерностей пригодятся при изучении электрических цепей и электромагнитных явлений. В новых темах изменятся формулы, но порядок работы останется тем же. Поэтому аккуратная запись условия становится универсальным навыком.

Что запомнить

• Перед вычислениями переводи все величины в СИ.
• Сначала выбирай физическую модель, затем закон.
• Напряжённость и силу складывай как векторы.
• При нескольких источниках поля применяй принцип суперпозиции.
• Проверяй размерность и порядок величины ответа.
• Знак работы зависит от направления перемещения заряда.