"Физика. Электродинамика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Конденсатор — устройство из двух проводников, разделённых диэлектриком, способное накапливать заряд и энергию электрического поля. Его главная характеристика — электроёмкость C, равная отношению заряда к напряжению. Ёмкость зависит от формы и размеров проводников, расстояния между ними и свойств диэлектрика, но в линейном случае не зависит от самого заряда. В задачах важно различать параллельное и последовательное соединения, а также случаи постоянного заряда и постоянного напряжения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Электроёмкость — физическая величина, показывающая, какой заряд способен накопить проводник при данном напряжении. Её обозначают буквой C и определяют формулой C = q/U. Единица электроёмкости — фарад (Ф): 1 Ф = 1 Кл/В.
Конденсатор — система из двух проводников, называемых обкладками, разделённых диэлектриком. Диэлектрик не пропускает свободные заряды между обкладками, поэтому на них можно накопить разноимённые заряды. Конденсаторы используют для накопления заряда и энергии электрического поля.
Ёмкость плоского конденсатора определяется формулой C = ε₀εS/d. Здесь S — площадь обкладки, d — расстояние между ними, ε — относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика. Следовательно, ёмкость увеличивается при росте площади и ε, но уменьшается при увеличении зазора.
Энергия заряженного конденсатора — это энергия электрического поля между его обкладками. Она равна работе, которую нужно совершить при зарядке конденсатора. Для её вычисления применяют формулы W = qU/2, W = CU²/2 или W = q²/(2C), выбирая ту, для которой известны нужные величины.
Электроёмкость характеризует способность системы накапливать заряд при заданном напряжении, потому что заряд и напряжение связаны свойствами электрического поля и геометрией проводника. Если при одном и том же U система принимает больший q, её ёмкость больше. Поэтому ёмкость описывает не текущий запас заряда, а «вместимость» системы.
Из определения сразу получается C = q/U: заряд делят на напряжение, при котором он накоплен. В линейном случае увеличение заряда в несколько раз вызывает такое же увеличение напряжения, поэтому их отношение не меняется. Значит, ёмкость остаётся постоянной, пока не изменяются размеры проводника, расстояние между обкладками или диэлектрик.
Формула C = ε₀εS/d следует из связи между зарядом и напряжённостью поля плоского конденсатора. При увеличении S на той же площади поля может разместиться больше заряда, поэтому C растёт; при увеличении d для того же заряда возрастает напряжение, и C уменьшается. Диэлектрик ослабляет поле внутри вещества, поэтому при том же заряде напряжение становится меньше, а ёмкость увеличивается в ε раз.
При параллельном соединении напряжение на всех конденсаторах одинаково, а общий заряд равен сумме зарядов: q = q₁ + q₂ + …. Подстановка qᵢ = CᵢU даёт C = C₁ + C₂ + …. При последовательном соединении общий заряд на изолированных внутренних обкладках одинаков по модулю, а общее напряжение складывается, поэтому 1/C = 1/C₁ + 1/C₂ + ….
При зарядке энергия поля постепенно увеличивается, потому что перенос каждого следующего заряда происходит при всё большем напряжении. Среднее напряжение при зарядке от 0 до U равно U/2, поэтому работа равна W = qU/2. Подставляя q = CU, получают две другие формы: W = CU²/2 и W = q²/(2C), каждая удобна при своём наборе исходных данных.
| Характеристика | Формула или свойство | Что происходит при изменении параметров |
|---|---|---|
| Электроёмкость | C = q/U, единица — фарад | В линейном случае не зависит от q и U по отдельности, а определяется отношением q/U |
| Ёмкость плоского конденсатора | C = ε₀εS/d | При увеличении S или ε ёмкость растёт, при увеличении d уменьшается |
| Параллельное соединение | C = C₁ + C₂ + … | Общая ёмкость больше ёмкости каждого отдельного конденсатора |
| Последовательное соединение | 1/C = 1/C₁ + 1/C₂ + … | Общая ёмкость меньше наименьшей из соединённых ёмкостей |
| Энергия конденсатора | W = qU/2 = CU²/2 = q²/(2C) | Энергия меняется при изменении q, U или C |
| Единицы измерения | 1 Ф; 1 мкФ = 10⁻⁶ Ф; 1 нФ = 10⁻⁹ Ф; 1 пФ = 10⁻¹² Ф | При переводе в фарады показатель степени десяти становится отрицательным |
Сначала определите, какая величина известна и какое соединение задано. Затем выберите строку таблицы с подходящей формулой и проверьте единицы измерения. Для задач с несколькими участками сначала заменяйте простые группы эквивалентными конденсаторами.
На конденсаторе находится заряд q = 6 мКл, а напряжение между обкладками равно U = 12 В. Требуется найти ёмкость и записать её в микрофарадах. Сначала используем определение, затем переводим результат в удобную единицу.
Ответ: C = 500 мкФ. Проверка показывает, что при делении кулонов на вольты действительно получаются фарады.
Конденсаторы C₁ = 3 мкФ и C₂ = 6 мкФ соединены параллельно, а полученная группа последовательно соединена с C₃ = 18 мкФ. Нужно определить ёмкость батареи. Решение удобно выполнять от внутренней группы к внешнему соединению.
Ответ: эквивалентная ёмкость батареи равна 6 мкФ. После каждого шага нужно мысленно заменить найденную группу одним конденсатором.
Рассмотрим конденсатор, у которого расстояние между обкладками увеличили в два раза. Если он изолирован, заряд сохраняется, а если подключён к источнику, сохраняется напряжение. Это различие определяет результат для остальных величин.
Ответ: перед вычислениями нужно выяснить, сохраняется заряд или напряжение. Именно условие «изолирован» либо «подключён к источнику» выбирает нужные формулы.
Путают электроёмкость с зарядом. Заряд показывает, сколько электричества накоплено сейчас, а ёмкость характеризует устройство и его геометрию. Проверьте себя: в формуле C = q/U ёмкость может оставаться прежней при одновременном изменении q и U.
Складывают ёмкости при последовательном соединении. Такое правило относится к параллельной схеме, где одинаково напряжение. Для последовательной схемы запишите 1/C = 1/C₁ + 1/C₂ и убедитесь, что результат меньше каждой отдельной ёмкости.
Не различают постоянный заряд и постоянное напряжение. После отключения источника изолированный конденсатор обычно сохраняет q, а подключённый к источнику — U. Перед расчётом прямо подпишите возле условия: «q = const» или «U = const».
Ошибаются в переводе единиц. Микрофарад, нанофарад и пикофарад соответствуют 10⁻⁶, 10⁻⁹ и 10⁻¹² Ф, а не положительным степеням. Полезная проверка: 1 мкФ = 1000 нФ = 1 000 000 пФ.
Для решения задач нужны понятия электрического заряда, напряжения, работы электрического поля и правила перевода единиц. Конденсаторы встречаются в цепях переменного тока, колебательных контурах и задачах о накоплении энергии поля. Закон сохранения заряда объясняет, почему при соединении конденсаторов перераспределяется заряд, но суммарный заряд изолированной системы сохраняется.
Почему конденсатор может иметь большую ёмкость при небольшом размере?
Ёмкость зависит не только от размеров, но и от расстояния между обкладками и диэлектрической проницаемости вещества. Малый зазор и диэлектрик с большой ε позволяют получить большую ёмкость без значительного увеличения габаритов.
Почему при последовательном соединении напряжения на конденсаторах различаются?
При последовательном соединении на каждом конденсаторе накапливается одинаковый по модулю заряд. Поэтому напряжение U = q/C оказывается больше на конденсаторе с меньшей ёмкостью.
Что произойдёт с энергией конденсатора после отключения его от источника?
Если конденсатор отключили, но его обкладки остаются изолированными, заряд сохраняется. При изменении ёмкости энергия изменится по формуле W = q²/(2C), даже если новый источник не подключён.
Зачем между обкладками конденсатора помещают диэлектрик?
Диэлектрик увеличивает ёмкость конденсатора и препятствует непосредственному разряду обкладок. При этом он должен выдерживать электрическое поле и не пробиваться.
Как выбрать формулу энергии конденсатора в конкретной задаче?
Используйте W = CU²/2, если известны ёмкость и напряжение, W = qU/2, если известны заряд и напряжение, и W = q²/(2C), если известны заряд и ёмкость. Все три формулы равносильны, потому что q = CU.
Упражнение 4
