Упражнение 4

Определения и обозначения

Гармоническое колебание — периодическое изменение физической величины по закону синуса или косинуса. Его записывают, например, так: x = A cos(ωt + φ₀). Закон задают амплитуда A, циклическая частота ω, начальная фаза φ₀ и время t, поэтому по формуле можно найти смещение в любой момент.

Амплитуда колебаний — наибольшее по модулю отклонение тела от положения равновесия. Её обозначают A и измеряют в тех же единицах, что и смещение, например в метрах. Амплитуда показывает размах движения и задаёт границы: −A ≤ x ≤ A.

Период колебаний — время одного полного колебания, то есть возвращения тела в прежнее состояние движения. Период обозначают T и измеряют в секундах. Если за время наблюдения t тело совершило N полных колебаний, то T = t/N.

Частота колебаний — число полных колебаний за единицу времени. Её обозначают греческой буквой ν и измеряют в герцах: 1 Гц = 1 с⁻¹. Частота связана с периодом формулами ν = 1/T и T = 1/ν.

Как это устроено

Сначала из условия выделяют, что именно требуется найти. Если сказано «наибольшее отклонение», нужна амплитуда; если «время одного цикла» — период; если «число колебаний в секунду» — частота. Когда спрашивают положение тела в определённый момент, находят смещение x и используют закон колебания.

Период и частота обратны, потому что один период содержит ровно одно полное колебание. Если одно колебание длится T секунд, за одну секунду помещается 1/T таких интервалов. Поэтому при увеличении периода частота уменьшается, а при уменьшении периода возрастает.

Число колебаний N за время наблюдения t связывает эти величины формулой N = t/T. Если известны N и t, удобнее сначала вычислить частоту: ν = N/t, а затем период: T = 1/ν или T = t/N. Важно не принимать всё время наблюдения за время одного колебания: обычно оно включает много циклов.

Для гармонического движения используют формулу x = A cos(ωt + φ₀) или x = A sin(ωt + φ₀). Чтобы найти смещение, подставляют заданное время в секунды и вычисляют значение синуса или косинуса. Коэффициент при t даёт циклическую частоту ω, поэтому T = 2π/ω, а ν = ω/(2π).

Результат проверяют несколькими способами. Модуль смещения не должен быть больше амплитуды, период должен иметь единицу секунды, а частота — герца. Полезно оценить смысл ответа: за время, во много раз превышающее период, должно укладываться примерно столько же колебаний, сколько показывает расчёт.

Величины, используемые при решении задач о колебаниях

Таблицу удобно использовать как краткий справочник при выборе формулы. Сначала определите известные величины и искомую, затем найдите строку с подходящей связью. Перед вычислением проверьте, что время выражено в секундах, а единицы ответа соответствуют искомой величине.

Разбор задач

Тело совершило 24 колебания за 12 с. Найдите частоту и период колебаний.

Известны число колебаний N = 24 и время наблюдения t = 12 с. Частота показывает, сколько колебаний приходится на одну секунду, поэтому сначала используем ν = N/t. Затем найдём период как величину, обратную частоте.

1. Вычислим частоту: ν = 24/12 = 2 Гц.
2. Найдём период: T = 1/ν = 1/2 = 0,5 с.

Ответ: частота равна 2 Гц, период — 0,5 с.

Период колебаний равен 0,8 с. Сколько полных колебаний совершит тело за 6,4 с?

Период сообщает длительность одного цикла, а 6,4 с — всё время наблюдения. Поэтому число циклов получим делением общего времени на период. В данном случае результат должен оказаться целым, поскольку спрашиваются полные колебания.

1. Запишем формулу: N = t/T.
2. Подставим значения: N = 6,4/0,8 = 8.

Ответ: тело совершит 8 полных колебаний.

Колебание описывается законом x = 0,06 cos(5πt). Определите амплитуду, период, частоту и смещение тела при t = 0,2 с.

Сравним данный закон с формой x = A cos(ωt + φ₀). Коэффициент перед косинусом даёт амплитуду, а коэффициент при времени — циклическую частоту. После этого найдём период, частоту и подставим заданный момент времени.

1. A = 0,06 м, ω = 5π рад/с.
2. T = 2π/ω = 2π/(5π) = 0,4 с, а ν = 1/T = 2,5 Гц.
3. x(0,2) = 0,06 cos(5π · 0,2) = 0,06 cos π = −0,06 м.

Ответ: A = 0,06 м, T = 0,4 с, ν = 2,5 Гц, смещение равно −0,06 м. Отрицательный знак означает отклонение в сторону, противоположную выбранному положительному направлению.

Типичные ошибки

Период путают с частотой и записывают одинаковые значения для T и ν. Такая ошибка возникает из-за того, что обе величины описывают быстроту повторения движения, но измеряются по-разному. Проверка проста: T должно быть в секундах, ν — в герцах, а их произведение равно 1.

Иногда время наблюдения делят на число колебаний, когда требуется частота. Формула t/N действительно даёт период одного колебания, а не число колебаний за секунду. Если нужна частота, используйте N/t и проверьте единицу Гц.

Амплитудой считают максимальную координату относительно случайно выбранного начала отсчёта. Но амплитуда определяется от положения равновесия, поэтому при смещённом начале координат координата и амплитуда могут не совпасть. Самопроверка: амплитуда должна задавать максимальный модуль отклонения от равновесия.

В закон колебания подставляют минуты или миллисекунды без перевода в секунды. Из-за этого меняется фаза ωt и получается неверное смещение. Перед подстановкой приведите время к секундам и убедитесь, что модуль найденного x не превышает A.

Связь с другими темами

Для разбора колебаний нужны понятия периодического движения, положения равновесия и координаты. Положение равновесия — точка, около которой движется тело; смещение отсчитывают именно от неё. Также необходимо уверенно переводить минуты и миллисекунды в секунды.

Связи T, ν и параметров гармонического закона используются при изучении математического и пружинного маятников. Они помогают анализировать резонанс, когда внешняя частота близка к собственной частоте системы. Те же характеристики применяются при описании распространения волн.

Что запомнить

• Период — время одного полного колебания.
• Частота — число колебаний за единицу времени.
• Частота и период связаны соотношением ν = 1/T.
• Амплитуда — максимальное отклонение от положения равновесия.
• Число колебаний за время t можно найти как N = t/T.
• В задачах проверяй единицы измерения и физический смысл результата.