§ 3.21. Примеры решения задач

Определения и обозначения

Расчётная схема — изображение элементов цепи, источников тока и соединений, нужное перед записью формул. На ней отмечают резисторы, узлы, ветви и направления токов. Такая схема помогает не перепутать участки и выбрать правильный закон.

Эквивалентное сопротивление — сопротивление, заменяющее участок цепи и сохраняющее тот же ток и разность потенциалов на его выводах. Для последовательных и параллельных соединений его находят по специальным правилам. Это позволяет упростить сложную схему, не меняя её электрического действия.

Закон Ома для полной цепи связывает ЭДС источника ε, внешнее сопротивление R и внутреннее сопротивление r: I = ε/(R + r). Внутреннее сопротивление учитывает потери напряжения внутри источника. Закон применяют только к замкнутой цепи, содержащей источник и внешнюю нагрузку.

Правила Кирхгофа — правила составления уравнений для токов в разветвлённых цепях. Первое правило относится к узлам, второе — к замкнутым контурам. С их помощью находят токи, когда обычными последовательными и параллельными заменами схему упростить нельзя.

Как это устроено

Решение начинают с физической модели, потому что одна и та же формула может описывать разные ситуации только при правильном выборе величин. Сначала рисуют расчётную схему, записывают известные данные и обозначают неизвестные. Затем определяют, что именно требуется найти: ток, напряжение, сопротивление или ЭДС.

По схеме сначала ищут участки, где элементы соединены последовательно или параллельно. При последовательном соединении через все элементы проходит один и тот же ток, поэтому сопротивления складываются. При параллельном соединении общими являются выводы, а значит, напряжение на ветвях одинаково и складываются проводимости.

После замены простых участков эквивалентными сопротивлениями схема становится короче, но найденные токи и напряжения нужно восстановить обратно. Например, ток общего участка перед параллельным разветвлением равен сумме токов ветвей. Поэтому сначала находят величины для всей цепи, а затем переходят к отдельным резисторам.

Выбор закона Ома зависит от рассматриваемого объекта. Для отдельного участка используют U = IR, для внешней цепи — напряжение на её выводах, а для полной замкнутой цепи — ЭДС и сумму R + r. Нельзя подставлять внешнее сопротивление в формулу полной цепи, если требуется учесть падение напряжения внутри источника.

В сложной цепи задают произвольные направления токов и составляют уравнения Кирхгофа. Для узла записывают, что сумма входящих токов равна сумме выходящих, а для контура учитывают знаки ЭДС и падений напряжения. Отрицательный ток не разрушает решение: он показывает, что реальное направление противоположно выбранному.

Выбор способа решения задач на электрические цепи

Сначала найдите в таблице тип своей схемы, а затем выберите соответствующий приём. Если цепь смешанная, выполняйте замены поэтапно и не теряйте обозначения исходных элементов. При невозможности таких замен переходите к правилам Кирхгофа.

Проверка должна соответствовать именно выбранной модели. Например, для параллельного участка сравнивают напряжения и сумму токов, а для полной цепи отдельно учитывают падение напряжения на внутреннем сопротивлении.

Разбор задач

Задача 1. Два резистора R₁ и R₂ соединены последовательно, а напряжение на участке равно U. Требуется найти общий ток и напряжение на каждом резисторе. Числа не заданы, поэтому решение записываем в общем виде.

1. В последовательной цепи ток одинаков во всех элементах: I = I₁ = I₂.
2. Находим эквивалентное сопротивление: R = R₁ + R₂.
3. По закону Ома получаем I = U/(R₁ + R₂), затем U₁ = IR₁ и U₂ = IR₂.

Ответ: I = U/(R₁ + R₂), U₁ = UR₁/(R₁ + R₂), U₂ = UR₂/(R₁ + R₂). Сумма U₁ + U₂ должна дать исходное напряжение U.

Задача 2. Источник имеет ЭДС ε и внутреннее сопротивление r, а внешняя цепь состоит из параллельных резисторов R₁ и R₂. Нужно определить ток источника и токи в ветвях. Сначала сворачиваем внешнюю часть, потому что закон Ома для полной цепи относится ко всей замкнутой схеме.

1. Эквивалентное сопротивление внешнего участка: R = R₁R₂/(R₁ + R₂).
2. Ток источника равен I = ε/(R + r).
3. Напряжение на параллельной цепи U = IR, поэтому I₁ = U/R₁ и I₂ = U/R₂.

Ответ: ток источника найден с учётом r, а токи ветвей — через общее напряжение U. Проверка: I = I₁ + I₂, поскольку заряд в узле не накапливается.

Задача 3. В разветвлённой цепи есть несколько источников и резисторов, а направления токов заранее неизвестны. Требуется найти токи во всех ветвях. Обычной заменой такую схему не свести к одному сопротивлению.

1. Выбираем направления I₁, I₂, I₃ произвольно и отмечаем их на схеме.
2. Для узла записываем, например, I₁ + I₂ − I₃ = 0.
3. Для независимых контуров составляем уравнения вида ε₁ − ε₂ = I₁R₁ + I₂R₂, расставляя знаки по выбранному обходу.
4. Решаем систему линейных уравнений и анализируем знаки найденных токов.

Ответ: значения токов получают из системы Кирхгофа. Если некоторый ток отрицателен, его действительное направление противоположно первоначально выбранному, а модуль показывает силу тока.

Типичные ошибки

Смешивают сопротивление участка и всей цепи. Ошибка появляется, когда напряжение на одном резисторе делят на общий ток или наоборот. Проверяйте, к какой части схемы относятся U и R в выбранном законе Ома.

Неверно считают параллельное соединение. Сопротивления параллельных ветвей не складывают, а складывают их проводимости: 1/R = 1/R₁ + 1/R₂. Токи ветвей обычно различны, зато напряжение на них одинаково.

Забывают внутреннее сопротивление источника. Так происходит, если применяют закон Ома для участка к полной замкнутой цепи. Убедитесь, что в знаменателе для тока источника стоит R + r, а напряжение внешней цепи равно IR.

Считают отрицательный ток ошибкой. Знак появляется из-за произвольного выбора направления до решения системы. Сравните знак с выбранной стрелкой: отрицательный результат означает противоположное направление, а не неверность метода.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны закон Ома для участка, правила соединения проводников, а также формулы работы и мощности тока. Они помогают связать найденные токи и напряжения с энергией, выделяющейся в цепи. Без этих связей трудно проверить физический смысл результата.

Нужно уметь читать электрические схемы, переводить единицы и решать системы линейных уравнений. Эти навыки особенно важны при применении правил Кирхгофа. Ошибка в единицах или знаках меняет весь итог расчёта.

Такие приёмы понадобятся при изучении измерительных приборов, цепей переменного тока и расчёта мощности. В каждом случае сначала выделяют модель цепи, а затем выбирают подходящие уравнения. Меняться могут элементы и режимы работы, но общий порядок рассуждений сохраняется.

Что запомнить

• Сначала строят схему и выделяют известные и неизвестные величины.
• Для последовательного соединения ток одинаков, а сопротивления складываются.
• Для параллельного соединения напряжение одинаково, а складываются проводимости.
• Для полной цепи учитывают как внешнее, так и внутреннее сопротивление источника.
• В разветвлённых цепях токи находят системой уравнений Кирхгофа.
• Знак результата нужно интерпретировать относительно выбранного направления тока.
• Размерность и предельный случай должны подтверждать физический смысл ответа.