§ 5.9. Примеры решения задач

Определения и обозначения

Магнитный поток Φ — величина, показывающая, сколько магнитного поля проходит через выбранную поверхность. Для однородного поля Φ = BS cos α, где B — магнитная индукция, S — площадь, α — угол между полем и нормалью к поверхности; единица потока — вебер (Вб). Поток нужен, чтобы описывать изменение магнитного воздействия на контур.

ЭДС индукции ℰ характеризует действие, создающее ток в контуре при изменении магнитного потока. По закону Фарадея модуль ЭДС равен скорости изменения потока: |ℰ| = |ΔΦ|/Δt. Чем быстрее меняется поток, тем больше ЭДС.

Индукционный ток — ток, возникающий в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока через него. Его силу находят по закону Ома: I = ℰ/R, где R — сопротивление цепи. Поэтому одной ЭДС недостаточно: нужно знать, замкнут ли контур и каково его сопротивление.

Правило Ленца определяет направление индукционного тока: его магнитное поле противодействует изменению магнитного потока. Сначала выясняют, растёт поток или уменьшается, затем выбирают направление поля тока и по правилу правой руки находят направление тока. Это позволяет определить знак ЭДС, а не только её модуль.

Как это устроено

Решение начинают с выделения контура, в котором может появиться ток. Затем выясняют, что именно меняет магнитный поток: поле B, площадь S или угол α. После этого выбирают закон Фарадея и записывают искомую величину через изменение потока, потому что именно изменение, а не само наличие поля создаёт ЭДС.

Магнитный поток может меняться тремя способами. У неподвижного контура это происходит при изменении магнитной индукции, а в движущемся контуре — при изменении площади охватываемой области или ориентации относительно поля. Поэтому даже постоянное магнитное поле способно вызвать ток, если контур движется или поворачивается.

Сначала по закону электромагнитной индукции находят ЭДС: |ℰ| = |ΔΦ|/Δt. Если цепь замкнута и сопротивление известно, применяют закон Ома I = ℰ/R. Такой порядок нужен потому, что ток является следствием ЭДС, а его сила зависит ещё и от свойств цепи.

Знак «минус» в законе Фарадея раскрывается правилом Ленца. Оно показывает, какое поле создаёт ток, чтобы препятствовать изменению потока: при росте внешнего потока поле тока направлено навстречу ему, а при уменьшении — поддерживает его. Проверить решение можно по единицам, предельным случаям и силе Ампера: внешняя сила должна совершать работу, превращающуюся в энергию тока.

Основные типы задач на электромагнитную индукцию

Сначала найдите строку, соответствующую причине изменения потока. Затем примените основной закон, а дополнительные величины определите только после нахождения ЭДС или полного изменения потока. В последней графе указаны быстрые способы обнаружить ошибку.

Разбор задач

Изменение магнитного потока

Условие: поток через неподвижный замкнутый контур равномерно изменился от Φ₁ до Φ₂ за время Δt, сопротивление контура равно R. Требуется найти ЭДС и ток. Направление тока устанавливается отдельно, по правилу Ленца.

1. Изменение потока: ΔΦ = Φ₂ − Φ₁.
2. При равномерном изменении модуль ЭДС равен |ℰ| = |Φ₂ − Φ₁|/Δt.
3. Силу тока находят по закону Ома: I = |ℰ|/R.
4. Сравнивают Φ₂ и Φ₁, после чего выбирают направление поля индукционного тока, противодействующее изменению.

Ответ: |ℰ| = |Φ₂ − Φ₁|/Δt, I = |Φ₂ − Φ₁|/(RΔt). Знак ЭДС и направление тока определяются правилом Ленца.

Движущийся стержень

Условие: стержень длиной l движется со скоростью v по направляющим в однородном поле, перпендикулярном стержню и направлению движения. Цепь замкнута и имеет сопротивление R. Нужно найти ЭДС, ток и силу, действующую на стержень.

1. За время Δt стержень проходит путь vΔt, поэтому площадь контура изменяется на l vΔt.
2. Из закона Фарадея получают модуль ЭДС движения: |ℰ| = Blv.
3. Ток равен I = Blv/R.
4. Силу Ампера находят по F = BIl, поэтому F = B²l²v/R.
5. По правилу Ленца сила Ампера направлена против движения стержня; внешняя сила должна компенсировать её.

Ответ: |ℰ| = Blv, I = Blv/R, F = B²l²v/R. Проверка через мощность показывает, что работа внешней силы превращается в тепло I²R.

Вход и выход рамки из поля

Условие: прямоугольная рамка сопротивлением R входит, движется внутри и выходит из области однородного поля с постоянной скоростью. Нужно определить ток на каждом участке и полный заряд. Удобно разделить движение по изменению площади рамки, находящейся в поле.

1. При входе площадь в поле растёт, поэтому поток изменяется и появляется ток: I = |ΔΦ|/(RΔt).
2. Внутри области поле охватывает неизменную площадь, поток постоянен, поэтому ЭДС и ток равны нулю.
3. При выходе площадь уменьшается, ток снова возникает, но его направление противоположно направлению при входе.
4. За весь процесс заряд находят интегрально: q = ∫|ℰ|dt/R = |ΔΦ|/R на каждом участке, а полный заряд складывают.

Ответ: ток есть только при входе и выходе, а внутри поля он отсутствует. Для каждого участка направление задают правилом Ленца, а заряд считают по полному изменению потока.

Типичные ошибки

Подстановка самого потока. В закон Фарадея ошибочно подставляют Φ, забывая, что ЭДС связана с изменением потока за время. Проверка проста: при неизменном потоке ЭДС должна быть равна нулю.

Неверный угол. В формулу Φ = BScos α берут угол между полем и плоскостью, хотя нужен угол с нормалью. Проверьте крайние случаи: при поле по нормали поток максимален, а при поле вдоль плоскости он равен нулю.

Неправильное направление тока. Правило правой руки применяют сразу, не выяснив, растёт или уменьшается поток. Сначала определите изменение внешнего поля, затем выберите противодействующее ему поле тока.

Игнорирование движения. Постоянное поле не означает отсутствия индукции: при движении меняются площадь или ориентация контура. Проверьте, изменяется ли Φ = BScos α, а не только величина B.

Связь с другими темами

Для решения нужны магнитный поток, закон Ома, сила Ампера и правило Ленца. Индукция связана с работой электрического поля, энергией и законом сохранения энергии: механическая работа может превращаться в электрическую. Эти методы используются при изучении самоиндукции, переменного тока, трансформатора и других электромагнитных устройств.

Что запомнить

• Индукционный ток возникает при изменении магнитного потока через замкнутый контур.
• Поток изменяется при изменении поля, площади контура или его ориентации.
• Модуль ЭДС определяется скоростью изменения магнитного потока.
• Силу тока находят после определения ЭДС и сопротивления цепи.
• Направление индукционного тока устанавливают по правилу Ленца.
• Решение проверяют по единицам, направлениям и закону сохранения энергии.