"Физика. Электродинамика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Ток создаёт вокруг проводника магнитное поле, и в этом поле может запасаться энергия. Она зависит от индуктивности цепи и квадрата силы тока: W = LI²/2. Энергия появляется потому, что при нарастании тока источник преодолевает ЭДС самоиндукции. При выключении тока запас может перейти в другие виды энергии, например вызвать искру. Для описания поля используют также плотность энергии — энергию, приходящуюся на единицу объёма.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Энергия магнитного поля тока — энергия, запасённая в поле проводника или катушки с током. Для катушки её вычисляют по формуле W = LI²/2, где L — индуктивность, а I — сила тока. Она показывает, сколько энергии поле может передать цепи при изменении тока.
Индуктивность — величина, характеризующая связь магнитного потока катушки с током и её способность противодействовать изменению тока. Её обозначают L, а единица СИ — генри (Гн). Чем больше индуктивность, тем больше энергии запасается при том же токе.
ЭДС самоиндукции — ЭДС, возникающая в цепи при изменении тока и направленная против этого изменения. Она не даёт току мгновенно вырасти или исчезнуть. Благодаря этому можно объяснить, почему источнику приходится совершать работу при нарастании тока.
Плотность энергии магнитного поля — энергия, приходящаяся на единицу объёма поля; её обозначают w. Для однородного поля в вакууме w = B²/(2μ₀), где B — магнитная индукция, а μ₀ — магнитная постоянная. Эта величина позволяет описывать распределение энергии в пространстве, а не только в катушке целиком.
Когда ток в катушке увеличивается, магнитное поле становится сильнее, а магнитный поток через витки растёт. Изменение потока вызывает ЭДС самоиндукции, направленную против увеличения тока. Поэтому источник должен преодолевать это противодействие и совершать работу. Совершённая работа не пропадает: она запасается в магнитном поле.
Связь магнитного потока с током для катушки выражается через индуктивность: потокосцепление пропорционально LI. Закон самоиндукции говорит, что ЭДС связана со скоростью изменения потокосцепления, поэтому при изменении тока она пропорциональна L и скорости изменения I. За небольшой промежуток времени источник совершает работу против этой ЭДС. Приращение энергии можно записать как dW = LI dI.
Чтобы найти энергию при токе I, складывают малые приращения от начального состояния, когда ток равен нулю, до текущего значения. Поскольку ток в выражении dW меняется постепенно, нельзя считать, что вся энергия набирается при максимальном токе. Интегрирование LI dI даёт W = LI²/2. Множитель 1/2 отражает это постепенное нарастание противодействия.
При постоянной индуктивности энергия зависит от квадрата тока: если ток увеличить в два раза, запас энергии станет в четыре раза больше. Когда ток уменьшается, магнитное поле ослабевает и отдаёт энергию цепи. При размыкании энергия может поддержать краткий ток, несмотря на отключение источника. Из-за высокого напряжения на размыкающихся контактах иногда возникает искра.
Энергия катушки может быть сосредоточена в объёме, занимаемом магнитным полем. Если поле однородно, полную энергию делят на объём V и получают плотность w = W/V. Для вакуума она выражается через индукцию поля: w = B²/(2μ₀). Значит, чтобы найти энергию поля во всём объёме, плотность нужно умножить на этот объём.
| Величина | Обозначение | Формула | Физический смысл | Единица СИ |
|---|---|---|---|---|
| Индуктивность | L | Ψ = LI | Связь потокосцепления с током; мера индуктивных свойств цепи | Гн |
| Энергия магнитного поля катушки | W | W = LI²/2 | Запас энергии в поле катушки | Дж |
| ЭДС самоиндукции | εс | εс = −L dI/dt | Противодействует изменению тока | В |
| Плотность энергии магнитного поля | w | w = W/V | Энергия на единицу объёма поля | Дж/м³ |
| Зависимость энергии от силы тока | W, I | W ∝ I² при L = const | При увеличении тока энергия растёт квадратично | Дж |
| Связь плотности энергии с магнитной индукцией | w, B | w = B²/(2μ₀) | Плотность энергии однородного поля в вакууме | Дж/м³ |
Таблица помогает выбрать формулу по заданным величинам: для энергии катушки нужны L и I, для энергии однородного поля — w и объём. Следите за единицами: индуктивность переводите в генри, объём — в кубические метры. Формулу плотности энергии нельзя путать с формулой полной энергии.
Задача 1. Катушка индуктивностью 0,20 Гн подключена к источнику, и по ней течёт ток 3,0 А. Определить энергию магнитного поля катушки.
Ответ: энергия магнитного поля катушки равна 0,90 Дж.
Задача 2. Энергия катушки равна 0,40 Дж при токе 2,0 А. Найти индуктивность катушки и энергию при токе 4,0 А.
Ответ: L = 0,20 Гн; при токе 4,0 А энергия равна 1,6 Дж.
Задача 3. В длинном соленоиде площадью поперечного сечения 2,0 см² и объёмом 1,5 дм³ создано однородное поле с индукцией 0,20 Тл. Найти плотность и полную энергию поля.
Ответ: плотность энергии примерно 1,6 · 10⁴ Дж/м³, полная энергия — примерно 24 Дж.
Записывают W = LI² вместо W = LI²/2. Обычно забывают, что ток нарастает постепенно, поэтому приращения работы нужно складывать интегрированием. Проверьте вывод: интеграл от LI dI от нуля до I содержит деление на два.
Считают, что энергия прямо пропорциональна току. Это неверно при постоянной индуктивности: W зависит от I², поскольку и ток, и создаваемое им поле участвуют в накоплении энергии. Для проверки сравните энергии при токах I и 2I: вторая должна быть в четыре раза больше.
Путают энергию поля с работой источника за всё время существования тока. Энергия поля в данный момент определяется текущими L и I, а источник может также тратить энергию на нагрев и другие процессы. Проверьте, что в формулу W = LI²/2 подставлены именно значения индуктивности и тока в рассматриваемый момент.
Подставляют объём или площадь в формулу w = B²/(2μ₀). Эта формула даёт плотность энергии, то есть энергию на единицу объёма, а не полную энергию катушки. Если нужна полная энергия, после вычисления w умножьте её на объём поля: W = wV.
Для понимания темы нужны представления о работе электрического тока, ЭДС, магнитном потоке, законе электромагнитной индукции и самоиндукции. Энергия поля помогает описывать переходные процессы в цепях постоянного тока: при включении и выключении ток не всегда меняется мгновенно. Она также важна для индуктивности катушки и колебательных контуров. Позже эти идеи применяются при изучении трансформаторов, электродвигателей и электромагнитов.
Почему в формуле энергии магнитного поля появляется множитель 1/2?
При нарастании тока ЭДС самоиндукции увеличивается вместе с током. Поэтому источник преодолевает не постоянное, а меняющееся противодействие. Работа находится интегрированием от нулевого тока до конечного, что и даёт множитель 1/2.
Куда исчезает энергия магнитного поля при выключении тока?
Она не исчезает, а передаётся другим частям цепи и окружающей среде. При размыкании цепи энергия может поддержать краткий ток и вызвать искру, а затем перейти в тепло, свет и электромагнитное излучение.
Почему энергия зависит от квадрата силы тока?
Индуктивность связывает магнитный поток с током, поэтому при неизменной катушке поток растёт пропорционально току. Работа по его созданию накапливается постепенно, и интегрирование даёт W = LI²/2. Значит, увеличение тока вдвое увеличивает энергию вчетверо.
Чем энергия магнитного поля отличается от энергии источника тока?
Энергия поля — это энергия, запасённая в данный момент в магнитном поле, и для катушки она равна LI²/2. Источник может передавать энергию не только полю, но также нагревать проводники и совершать работу в других элементах цепи.
Можно ли использовать формулу w = B²/(2μ₀) для любого вещества внутри катушки?
Формула w = B²/(2μ₀) относится к вакууму и приближённо применима к воздуху. В веществе магнитные свойства среды влияют на связь поля с энергией, поэтому нужно учитывать магнитную проницаемость и условия задачи.
§ 5.8. Энергия магнитного поля тока
