§ 30. Энергия магнитного поля тока

Определения и обозначения

Индуктивность — физическая величина, характеризующая способность проводника или катушки создавать магнитное поле при прохождении тока. Её обозначают L и измеряют в генри (Гн). Чем больше индуктивность, тем заметнее магнитное поле и тем сильнее цепь противодействует быстрому изменению тока.

Самоиндукция — возникновение ЭДС в цепи при изменении силы тока в этой же цепи. Эта ЭДС появляется потому, что изменяющееся магнитное поле создаёт электрическое поле. Понятие нужно, чтобы объяснить задержку нарастания тока и появление напряжения при размыкании цепи.

Энергия магнитного поля — энергия, запасённая магнитным полем, которое создаётся током. При увеличении тока она поступает от источника электрической энергии. Поэтому катушка с током может позднее отдавать запасённую энергию обратно в цепь.

Плотность энергии магнитного поля — энергия поля, приходящаяся на единицу объёма. Её обозначают w и измеряют в Дж/м³. Эта величина позволяет описывать, насколько «энергетически насыщен» каждый участок пространства, а не только всё поле целиком.

Как это устроено

Когда ток в цепи изменяется, изменяется и магнитное поле вокруг проводника. Изменяющееся магнитное поле порождает ЭДС самоиндукции. По правилу Ленца её направление таково, чтобы противодействовать причине возникновения: при росте тока она мешает росту, а при уменьшении поддерживает ток.

При нарастании тока источник должен преодолевать действие ЭДС самоиндукции. Поэтому часть работы источника не превращается сразу в тепло на сопротивлении, а уходит на создание магнитного поля. После окончания переходного процесса эта работа остаётся запасённой в поле катушки.

Для катушки с постоянной индуктивностью энергия определяется формулой W = LI²/2. Здесь L — индуктивность, а I — сила тока; чем больше любая из этих величин, тем больше запас энергии. При неизменном L энергия пропорциональна I², поэтому изменение тока влияет на результат особенно сильно.

Если источник отключить, магнитное поле начинает уменьшаться. При этом возникает ЭДС самоиндукции, которая стремится сохранить прежний ток, и энергия поля возвращается в электрическую цепь. При размыкании контактов напряжение может стать большим, поэтому между ними иногда возникает искра: часть энергии превращается в тепло, свет и энергию разряда.

Запас энергии можно связать не только с током катушки, но и с пространством, где существует поле. Плотность энергии равна отношению энергии к объёму: w = W/V. В вакууме она выражается через магнитную индукцию формулой w = B²/(2μ₀), поэтому энергия объёма V равна W = wV.

Энергетические характеристики магнитного поля

Сначала определите, какая величина требуется: полный запас энергии или энергия единицы объёма. Затем выберите формулу и проверьте единицы: объём нужно брать в кубических метрах, а ток — в амперах.

Если известны индуктивность и ток, удобнее использовать W = LI²/2. Если задано однородное поле и его объём, сначала находят w, а затем умножают плотность энергии на объём.

Разбор задач

Задача 1

Катушка имеет индуктивность 0,20 Гн, а ток в ней равен 3,0 А. Требуется найти энергию магнитного поля катушки. Индуктивность и сила тока уже выражены в единицах СИ, поэтому дополнительный перевод не нужен.

1. Используем формулу W = LI²/2, потому что известны L и I.
2. Возводим ток в квадрат: I² = (3,0 А)² = 9,0 А².
3. Подставляем значения: W = 0,20 · 9,0 / 2 = 0,90 Дж.

Ответ: энергия магнитного поля равна 0,90 Дж. Квадрат тока необходимо вычислять до умножения на индуктивность. Единица результата — джоуль.

Задача 2

Ток в катушке увеличили в два раза, а индуктивность осталась постоянной. Нужно сравнить новую энергию с начальной, не находя конкретных числовых значений. Обозначим начальный ток через I.

1. Начальная энергия равна W₁ = LI²/2.
2. После увеличения тока I₂ = 2I, поэтому W₂ = L(2I)²/2 = 4LI²/2.
3. Следовательно, W₂/W₁ = 4.

Ответ: энергия увеличилась в четыре раза. Причина — ток входит в формулу во второй степени. Если бы изменялась ещё и индуктивность, одного сравнения токов было бы недостаточно.

Задача 3

В вакууме находится однородное магнитное поле с индукцией 0,40 Тл, занимающее объём 0,010 м³. Нужно найти плотность энергии и полную энергию поля в этом объёме. Используем μ₀ = 4π · 10⁻⁷ Гн/м.

1. Находим плотность: w = B²/(2μ₀) = 0,40²/(2 · 4π · 10⁻⁷) ≈ 6,4 · 10⁴ Дж/м³.
2. Для всего объёма применяем W = wV.
3. Получаем W ≈ 6,4 · 10⁴ · 0,010 = 6,4 · 10² Дж.

Ответ: плотность энергии примерно равна 6,4 · 10⁴ Дж/м³, а энергия объёма — примерно 6,4 · 10² Дж. Сначала была найдена характеристика единицы объёма, затем она умножена на объём.

Типичные ошибки

Запись W = LI² без коэффициента ½ завышает результат в два раза. Ошибка появляется, если считать, будто ток сразу принимает конечное значение, хотя при нарастании он изменяется от нуля. Проверьте себя: при выводе учитывается среднее значение изменяющейся величины.

Иногда считают, что удвоение тока удваивает энергию. Это неверно, потому что при постоянной индуктивности W пропорциональна I². Подставьте новый ток в формулу: (2I)² = 4I².

Нельзя путать энергию W и плотность энергии w. Первая измеряется в джоулях и относится ко всему полю, вторая измеряется в Дж/м³ и относится к единице объёма. Проверка проста: если требуется энергия заданного объёма, после нахождения w нужно умножить её на V.

Запасённая энергия не исчезает при размыкании цепи. Она может поддержать ток и перейти в нагрев, свет или искровой разряд. Если возникает искра, это как раз показывает, что энергия поля передалась другим процессам.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужны представления о работе электрического тока, магнитном поле проводника и магнитном потоке. ЭДС самоиндукции связана с законом электромагнитной индукции и правилом Ленца: именно они объясняют направление противодействия изменению тока.

Энергия катушки особенно важна при изучении колебаний в цепи с конденсатором и катушкой. В такой цепи энергия переходит между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки.

Что запомнить

• Магнитное поле тока может запасать энергию.
• Энергия поля катушки равна W = LI²/2.
• При неизменной индуктивности энергия пропорциональна квадрату силы тока.
• При нарастании тока источник совершает работу против ЭДС самоиндукции.
• Плотность энергии показывает энергию поля в единице объёма.
• Для вакуума плотность энергии магнитного поля равна w = B²/(2μ₀).