§ 19. Энергия магнитного поля тока

Определения и обозначения

Энергия магнитного поля тока — энергия, запасённая в магнитном поле, создаваемом током. Она показывает, какую работу поле может передать цепи при ослаблении. Это понятие позволяет рассматривать магнитное поле как хранилище энергии, а не только как область действия силы.

Индуктивность — характеристика цепи, связывающая изменение тока с возникающей ЭДС самоиндукции; обозначается L. Чем больше индуктивность, тем сильнее цепь противодействует быстрому изменению тока. В СИ индуктивность измеряют в генри (Гн).

ЭДС самоиндукции — ЭДС, возникающая при изменении тока в цепи и препятствующая этому изменению. Если ток возрастает, она направлена против его нарастания, а при уменьшении поддерживает ток. Благодаря этому ток в катушке не может измениться скачком.

Энергия магнитного поля катушки — энергия, равная работе, затраченной на создание тока в катушке. Источник совершает эту работу, преодолевая действие ЭДС самоиндукции. Поэтому энергия источника переходит в магнитное поле и может позднее вернуться в цепь.

Как это устроено

При включении катушки ток не устанавливается мгновенно, потому что его изменение сопровождается изменением магнитного поля. Изменяющееся поле создаёт ЭДС самоиндукции, направленную против роста тока. Источнику приходится выполнять дополнительную работу, чтобы преодолеть это противодействие. Чем быстрее пытаются изменить ток и чем больше индуктивность катушки, тем заметнее такой эффект.

Энергия, затраченная источником при нарастании тока, не исчезает. Она переходит в магнитное поле катушки, поскольку именно создание этого поля связано с работой против ЭДС самоиндукции. Когда ток достигает установившегося значения, поле уже содержит запас энергии. В идеальной катушке без сопротивления эта энергия не расходуется самопроизвольно.

Для катушки с индуктивностью L и током I энергия определяется формулой W = LI²/2. Здесь W измеряется в джоулях, L — в генри, а I — в амперах; квадрат тока означает умножение I на самого себя. Множитель ½ появляется потому, что ток при включении растёт от нуля до I, а работа совершается постепенно. Формула показывает: при одинаковом токе энергия прямо пропорциональна индуктивности, а при постоянной индуктивности — квадрату тока.

При отключении источника ток начинает уменьшаться, поэтому магнитное поле катушки ослабевает. Это изменение снова вызывает ЭДС самоиндукции, теперь поддерживающую ток в прежнем направлении. Запасённая энергия передаётся сопротивлению, конденсатору или другим элементам цепи. Поэтому отключение катушки может сопровождаться кратковременным током или повышенным напряжением.

Энергия электрического и магнитного полей

В таблице удобно сравнивать не сами формулы, а их структуру: в обоих случаях энергия содержит характеристику элемента и квадрат электрической величины. Для конденсатора такой величиной служит напряжение, а для катушки — ток. Единицы энергии в обоих случаях одинаковы: джоули.

Разбор задач

Задача 1

Катушка имеет индуктивность 0,20 Гн и пропускает ток 3,0 А. Требуется найти энергию её магнитного поля. Все данные уже приведены в единицах СИ, поэтому дополнительный перевод не нужен.

1. Записываем формулу: W = LI²/2.
2. Возводим ток в квадрат: I² = (3,0 А)² = 9,0 А².
3. Подставляем значения: W = 0,20 · 9,0 / 2 = 0,90 Дж.

Ответ: энергия магнитного поля равна 0,90 Дж. Проверка показывает, что при L в генри и I в амперах результат получается в джоулях.

Задача 2

Энергия магнитного поля катушки равна 0,40 Дж, а индуктивность составляет 0,20 Гн. Нужно определить силу тока. Поскольку сила тока не бывает отрицательной по условию задачи, выбираем положительный корень.

1. Начинаем с W = LI²/2 и умножаем обе части на 2: 2W = LI².
2. Выражаем квадрат тока: I² = 2W/L.
3. Подставляем данные и извлекаем корень: I = √(2 · 0,40 / 0,20) = √4 = 2,0 А.

Ответ: сила тока равна 2,0 А. Возведение найденного значения в квадрат и подстановка в исходную формулу возвращают энергию 0,40 Дж.

Задача 3

Ток в катушке увеличили в три раза, а её индуктивность оставили прежней. Требуется сравнить новую энергию с первоначальной. Численные значения тока не нужны, потому что достаточно использовать зависимость энергии от квадрата тока.

1. Записываем отношение энергий: W₂/W₁ = (LI₂²/2)/(LI₁²/2).
2. Одинаковые L и коэффициент ½ сокращаются, поэтому W₂/W₁ = (I₂/I₁)².
3. Так как I₂/I₁ = 3, получаем W₂/W₁ = 3² = 9.

Ответ: энергия магнитного поля увеличится в 9 раз. Квадратичная зависимость делает изменение энергии более быстрым, чем изменение тока.

Типичные ошибки

Забывают квадрат тока. Тогда энергию ошибочно считают прямо пропорциональной I, хотя формула содержит I². Проверьте себя: если ток увеличить в два раза, ответ должен вырасти в четыре раза.

Опускают коэффициент ½. Выражение LI² вдвое больше правильной энергии, потому что ток создаётся постепенно, от нуля до конечного значения. Всегда переписывайте формулу полностью до подстановки чисел.

Не переводят миллигенри в генри. Значение 1 мГн равно 0,001 Гн, поэтому использование числа без перевода увеличивает ответ в тысячу раз. Перед вычислением проверьте, что L выражена именно в генри.

Считают, что энергия мгновенно исчезает при отключении. Ослабление поля вызывает ЭДС самоиндукции, и энергия передаётся элементам цепи. Проверьте рассуждение вопросом: какой процесс происходит с полем после отключения — оно исчезает или постепенно уменьшается?

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны работа электрического тока, сила тока, индуктивность и явление самоиндукции. С энергией электрического поля конденсатора её объединяет общий смысл: энергия запасается в поле элемента цепи, хотя формулы используют разные величины. При изучении электромагнитных колебаний эти энергии переходят друг в друга: электрическая энергия конденсатора сменяется магнитной энергией катушки.

Что запомнить

• Магнитное поле тока может запасать энергию.
• Энергия поля катушки равна W = LI²/2.
• В формуле L измеряется в генри, I — в амперах, W — в джоулях.
• При неизменной L энергия пропорциональна квадрату силы тока.
• При увеличении индуктивности и неизменном токе запасённая энергия возрастает.
• При исчезновении тока магнитное поле ослабевает, а его энергия передаётся другим элементам цепи.