"Физика (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.; под ред. Орлова В.А. (ч.1); Генденштейн Л.Э., Кошкина А.В., Левиев Г.И. (ч. 2)
Ток в катушке создаёт магнитное поле, способное запасать энергию. Она появляется не сама собой: при нарастании тока источник преодолевает действие ЭДС самоиндукции и совершает работу. Энергия катушки определяется её индуктивностью и квадратом силы тока: W = LI²/2. Её можно описывать и через плотность энергии магнитного поля — энергию, приходящуюся на единицу объёма. Это позволяет понять, где именно запасена энергия и как она зависит от характеристик поля.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Индуктивность — характеристика цепи, связывающая силу тока с магнитным потоком, создаваемым этим током. Её обозначают L, а единица СИ — генри (Гн). Индуктивность зависит от устройства катушки и среды внутри неё, поэтому позволяет описывать свойства цепи, не пересчитывая поле для каждого значения тока.
ЭДС самоиндукции — электродвижущая сила, возникающая в цепи при изменении тока. Она направлена так, чтобы противодействовать именно изменению тока, а не обязательно самому току. Это объясняет, почему для нарастания тока источник должен совершать дополнительную работу.
Энергия магнитного поля тока — энергия, запасённая в поле, которое создаёт ток. Для катушки с индуктивностью L при силе тока I она равна W = LI²/2. Формула нужна, чтобы определить запас энергии по измеряемым параметрам цепи; W измеряется в джоулях (Дж).
Плотность энергии магнитного поля — энергия, приходящаяся на единицу объёма пространства, занятого полем. В вакууме она выражается формулой w = B²/(2μ₀), где B — магнитная индукция, а μ₀ — магнитная постоянная. Плотность позволяет описывать распределение энергии в пространстве; её единица — Дж/м³.
Когда ток в катушке увеличивается, магнитное поле и магнитный поток через витки тоже возрастают. Из-за изменения потока возникает ЭДС самоиндукции, направленная против нарастания тока. Значит, источник должен не только поддерживать ток, но и преодолевать противодействие катушки. Именно поэтому он совершает работу, пока поле создаётся.
Совершённая источником работа не пропадает: она остаётся в системе как энергия магнитного поля. Это похоже на зарядку конденсатора: источник совершает работу, а энергия запасается в электрическом поле между его обкладками. В катушке носителем запаса служит магнитное поле. Если ток затем уменьшается, поле ослабевает и его энергия может перейти в другие формы.
Для катушки с постоянной индуктивностью энергия равна W = LI²/2. Множитель 1/2 появляется потому, что при увеличении тока от нуля ЭДС самоиндукции растёт вместе с током: на всём пути источник преодолевает не её конечное значение, а постепенно возрастающее. Поэтому работа определяется средним противодействием, равным половине конечного, а не произведением конечных значений целиком. Поскольку I входит в формулу как I², при постоянной L удвоение тока увеличивает энергию в четыре раза.
Энергия поля распределена в пространстве, где существует магнитное поле. Если поле однородно в объёме V, то полную энергию можно найти как произведение плотности энергии на объём: W = wV. Здесь w показывает, сколько энергии приходится на каждый кубический метр. Если поле неоднородно, плотность в разных местах различается, поэтому нельзя безоговорочно умножить одно её значение на весь объём.
Формула W = LI²/2 связывает энергию с параметрами катушки и током, а выражение w = B²/(2μ₀) — с характеристиками самого поля в вакууме. Это два способа описать одну и ту же физическую энергию, а не разные виды энергии. Чтобы перейти от плотности к полной энергии, нужно учитывать объём поля. Поэтому результат не зависит от того, описываем ли мы поле через устройство, которое его создало, или через его свойства в пространстве.
| Величина | Обозначение | Формула | Единица СИ | От чего зависит |
|---|---|---|---|---|
| Энергия поля катушки | W | W = LI²/2 | Дж | От индуктивности L и квадрата силы тока I |
| Плотность энергии магнитного поля | w | w = B²/(2μ₀) | Дж/м³ | От квадрата магнитной индукции B в вакууме |
| Индуктивность катушки | L | L = Ф/I | Гн | От формы и размеров катушки, числа витков и среды |
| Магнитная индукция | B | B = F/(Iℓ) — для прямого проводника в перпендикулярном поле | Тл | От характеристик магнитного поля |
Сначала определите, что требуется найти: полный запас энергии W или энергию на единицу объёма w. Если известны L и I, применяйте формулу для катушки; если известна B, найдите плотность, а затем при необходимости умножьте её на объём однородного поля. Следите за единицами: индуктивность должна быть выражена в генри, ток — в амперах, а объём — в кубических метрах.
Катушка индуктивностью 0,20 Гн подключена к источнику; сила тока установилась равной 3,0 А. Найдите энергию её магнитного поля. В задаче известны индуктивность и ток, поэтому можно сразу использовать формулу для энергии катушки. Данные уже заданы в единицах СИ.
Ответ: энергия магнитного поля катушки равна 0,90 Дж. Результат получен в джоулях, поскольку Гн · А² соответствует единице энергии. Квадрат тока нужно вычислить до деления на два.
При неизменной индуктивности катушки силу тока увеличили в 2 раза. Во сколько раз изменилась энергия магнитного поля? Здесь не требуется знать численные значения L и I: достаточно сравнить начальную и конечную энергии по формуле W = LI²/2. Поскольку L не меняется, отношение энергий определяется только отношением квадратов токов.
Ответ: энергия увеличилась в 4 раза. Удваивается не энергия, а ток; в формуле энергия зависит от его квадрата. Такой способ сравнения удобен, когда известен коэффициент изменения тока, но не его значение.
В однородном магнитном поле с индукцией 0,40 Тл находится объём 0,010 м³. Найдите энергию поля в этом объёме, считая его вакуумом. Дана индукция, поэтому сначала найдём плотность энергии по формуле w = B²/(2μ₀), а затем умножим её на объём. Используем μ₀ = 4π · 10⁻⁷ Гн/м ≈ 1,26 · 10⁻⁶ Гн/м.
Ответ: энергия поля в заданном объёме примерно равна 635 Дж. Объём переведён не требуется, поскольку он уже выражен в кубических метрах. При округлении итог можно записать как 6,4 · 10² Дж.
Записывать W = LI² вместо W = LI²/2 — значит потерять множитель 1/2. Так бывает, если запомнить только зависимость энергии от L и I и не учесть работу при плавном нарастании тока от нуля. Проверьте себя: при выводе учитывается среднее противодействие ЭДС самоиндукции, которое в два раза меньше конечного.
Считать, что при удвоении тока энергия удваивается, неверно: при постоянной индуктивности W пропорциональна I². Ошибку допускают, перенося на энергию линейную зависимость потока от тока. Для проверки подставьте новый ток 2I в формулу: квадрат даёт множитель четыре.
Путать энергию W и плотность энергии w нельзя: первая измеряется в джоулях, вторая — в Дж/м³. Обычно это происходит из-за похожих обозначений и того, что обе величины описывают запас энергии. Проверьте единицы и при переходе от плотности к энергии умножьте w на объём: W = wV.
Подставлять B в формулу для энергии катушки без проверки условий — ошибка: W = LI²/2 использует индуктивность и ток, а w = B²/(2μ₀) даёт плотность энергии поля в вакууме. Эти формулы относятся к разным способам описания и требуют разных исходных данных. Сначала выясните, что известно и что нужно найти; для полной энергии из плотности дополнительно используйте объём.
Для понимания темы нужны магнитный поток, электромагнитная индукция, ЭДС самоиндукции и индуктивность: они объясняют, как изменение тока приводит к появлению противодействующей ЭДС. Энергию магнитного поля удобно сопоставлять с энергией электрического поля конденсатора — оба устройства могут запасать энергию в поле. Это представление пригодится при изучении электромагнитных колебаний и энергетических процессов в цепях, где энергия переходит между электрическим и магнитным полями.
Почему магнитное поле катушки обладает энергией?
Чтобы создать поле, нужно увеличить ток в катушке, преодолевая ЭДС самоиндукции. Источник при этом совершает работу, которая не исчезает, а запасается в магнитном поле.
Куда уходит работа источника при увеличении тока в катушке?
Она переходит в энергию магнитного поля катушки. Позже эта энергия может передаваться другим элементам цепи, если ток начнёт уменьшаться.
Почему в формуле энергии катушки есть множитель 1/2?
При нарастании тока от нуля ЭДС самоиндукции постепенно увеличивается вместе с током. Поэтому работа источника равна произведению конечных значений не целиком, а с множителем 1/2.
Как изменится энергия магнитного поля, если силу тока увеличить в три раза?
При неизменной индуктивности энергия пропорциональна квадрату силы тока. Поэтому при увеличении тока втрое энергия возрастёт в 3² = 9 раз.
Чем энергия магнитного поля отличается от плотности энергии?
Энергия W показывает полный запас энергии и измеряется в джоулях. Плотность w показывает, сколько энергии приходится на единицу объёма, и измеряется в джоулях на кубический метр.
3. Энергия магнитного поля тока
