§ 16. Энергия магнитного поля тока

Определения и обозначения

Энергия магнитного поля тока — энергия, запасённая в магнитном поле, которое создаёт электрический ток. Когда поле исчезает, запасённая энергия может перейти в другие виды энергии, например в тепло. Это понятие помогает описывать, куда направляется работа источника при создании поля.

Индуктивность L — характеристика цепи, связывающая силу тока с магнитным потокосцеплением Ψ: Ψ = LI. Потокосцепление учитывает магнитный поток через витки катушки, а L показывает, насколько сильно поле связано с током. Эта величина нужна, чтобы рассчитывать как самоиндукцию, так и энергию катушки.

Энергия катушки с током — энергия её магнитного поля; при постоянной индуктивности она равна W = LI²/2. Здесь W измеряется в джоулях, L — в генри, I — в амперах. Формула позволяет найти запас энергии по характеристикам катушки и тока.

Объёмная плотность энергии w — энергия магнитного поля, приходящаяся на единицу объёма. Её определяют как отношение полной энергии к объёму: w = W/V. Плотность удобна, когда рассматривают поле в пространстве, а не только катушку как устройство.

Как это устроено

Когда ток в катушке начинает возрастать, вместе с ним меняется магнитное поле и магнитный поток. Из-за изменения потока возникает ЭДС самоиндукции, направленная так, чтобы препятствовать изменению тока. Поэтому источник должен совершать дополнительную работу, преодолевая действие этой ЭДС. Работа не исчезает: она остаётся запасённой в создаваемом магнитном поле.

При небольшом увеличении тока источник совершает малую работу, связанную с изменением магнитного потока. Для катушки с индуктивностью L потокосцепление Ψ = LI, поэтому приращение потокосцепления пропорционально приращению тока. ЭДС самоиндукции по модулю связана со скоростью изменения потокосцепления, а работа на малом шаге зависит от текущего значения тока. Значит, одинаковые приращения тока на разных этапах требуют разной работы: по мере роста тока поле становится сильнее.

Чтобы получить полную энергию, нужно сложить работу источника на всех малых этапах, пока ток растёт от нуля до I. При постоянной индуктивности потокосцепление растёт пропорционально току, поэтому среднее значение тока на этом пути равно I/2. В результате работа, а вместе с ней энергия поля, составляет W = LI²/2. Множитель 1/2 появляется именно из-за постепенного нарастания тока, а не из-за особого свойства единиц измерения.

Энергия связана не только с катушкой как элементом цепи: магнитное поле занимает пространство вокруг проводника и внутри него. Если поле однородно в рассматриваемом объёме, общую энергию можно разделить на этот объём и получить плотность w = W/V. Так становится возможным описывать распределение энергии в поле, даже если катушку как целое рассматривать неудобно. Для неоднородного поля плотность может меняться от точки к точке.

В вакууме плотность энергии магнитного поля выражается через магнитную индукцию формулой w = B²/(2μ₀), где B характеризует поле, а μ₀ — магнитная постоянная. Квадрат B означает, что при увеличении индукции в n раз плотность возрастает в n² раз. Например, удвоение B даёт четырёхкратную плотность энергии. Для однородного поля полную энергию находят умножением плотности на объём: W = wV.

Энергетические характеристики магнитного поля

В таблице собраны основные величины, их обозначения, единицы и физический смысл. Сначала определите, требуется ли полная энергия катушки или плотность энергии в пространстве. Затем выберите формулу: для катушки нужны L и I, а для однородного поля в вакууме — B и объём.

Разбор задач

Энергия катушки по индуктивности и току

Катушка имеет индуктивность 0,20 Гн, а установившийся ток равен 3,0 А. Требуется найти энергию её магнитного поля. В условии величины уже заданы в единицах СИ, поэтому их можно подставить непосредственно.

1. Записываем формулу для катушки: W = LI²/2.
2. Подставляем значения: W = 0,20 · (3,0)²/2 = 0,90 Дж.
3. Проверяем размерность: Гн · А² соответствует джоулю, значит результат выражен в единицах энергии.

Ответ: энергия магнитного поля катушки равна 0,90 Дж. Квадрат тока учитывается до деления на два, поэтому нельзя подставлять вместо I² просто I.

Как меняется ток при изменении энергии

Энергию поля катушки увеличили в четыре раза, а индуктивность не меняли. Нужно определить, во сколько раз изменили силу тока. Сравнивать численные значения энергии напрямую не требуется: достаточно установить, как они связаны с током.

1. Для обоих состояний используем W = LI²/2; множители L и 1/2 остаются неизменными.
2. Следовательно, отношение энергий равно квадрату отношения токов: W₂/W₁ = (I₂/I₁)².
3. Подставляем увеличение энергии: 4 = (I₂/I₁)², откуда I₂/I₁ = 2. Берём положительное значение, так как речь идёт о величине силы тока.

Ответ: силу тока увеличили в два раза. Проверка: при удвоении тока квадрат тока и энергия возрастают в четыре раза.

Энергия однородного поля в вакууме

Индукция однородного магнитного поля в вакууме равна 0,12 Тл, а занимаемый полем объём — 0,50 м³. Требуется найти полную энергию. Здесь сначала нужно вычислить энергию на единицу объёма, а затем учесть весь объём поля.

1. Находим плотность: w = B²/(2μ₀), где μ₀ = 4π · 10⁻⁷ Гн/м.
2. Подставляем данные: w = (0,12)²/[2 · 4π · 10⁻⁷] ≈ 5,73 · 10³ Дж/м³.
3. Умножаем плотность на объём: W = wV ≈ 5,73 · 10³ · 0,50 ≈ 2,9 · 10³ Дж.

Ответ: энергия поля составляет примерно 2,9 кДж. Результат округлён до двух значащих цифр, как и исходные данные.

Типичные ошибки

Первая ошибка — записывать W = LI² без множителя 1/2. Так делают, забывая, что поле создаётся постепенно: ток начинается с нуля, поэтому источник не всё время работает при конечном токе. Проверьте вывод через среднее значение тока на пути от нуля до I: оно равно I/2.

Вторая ошибка — считать энергию пропорциональной току. При постоянной индуктивности формула содержит I², поэтому зависимость квадратичная. Для проверки подставьте ток, увеличенный в два раза: энергия должна измениться в четыре раза.

Третья ошибка — подставлять числа без перевода единиц, например брать индуктивность в миллигенри как будто она задана в генри. Из-за этого ответ может отличаться в тысячу раз. Перед вычислениями переведите L в генри, ток — в амперы, а объём — в кубические метры.

Четвёртая ошибка — путать полную энергию W с плотностью w. Плотность измеряется в Дж/м³ и сама по себе не даёт энергию всего объёма. Если известна плотность, умножьте её на объём; если задача просит плотность, такого умножения делать не нужно.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны магнитный поток, индуктивность и ЭДС самоиндукции: они объясняют, почему меняющийся ток требует работы источника. Также пригодятся понятия работы и энергии, позволяющие проследить, куда переходит затраченная энергия. Формула W = LI²/2 сопоставляется с энергией электрического поля конденсатора; в обоих случаях энергия запасается в поле, хотя механизм её создания различен. Плотность энергии понадобится при изучении электромагнитного поля и переноса энергии полем.

Что запомнить

• Ток создаёт магнитное поле, в котором может запасаться энергия.
• При постоянной индуктивности энергия катушки равна W = LI²/2.
• Энергия магнитного поля пропорциональна индуктивности катушки.
• При увеличении силы тока в два раза энергия возрастает в четыре раза.
• Объёмная плотность энергии равна энергии, делённой на объём.
• В вакууме w = B²/(2μ₀).