§ 5.7. Самоиндукция. Индуктивность

Определения и обозначения

Самоиндукция — возникновение ЭДС индукции в проводнике или цепи при изменении силы тока в этой же цепи. Причина явления в том, что ток создаёт магнитное поле, а его изменение меняет магнитный поток. Это понятие нужно, чтобы объяснить задержку изменения тока в катушках.

ЭДС самоиндукции — ЭДС, возникающая при изменении собственного магнитного потока цепи. Она обозначается ε_си и определяется законом ε_си = −L·dI/dt. Знак минус показывает действие правила Ленца: ЭДС направлена против изменения тока.

Индуктивность — физическая величина, характеризующая способность цепи создавать магнитный поток при данном токе и противодействовать изменению тока. Её обозначают буквой L. Чем больше индуктивность, тем сильнее цепь сопротивляется быстрому изменению тока.

Генри — единица индуктивности в СИ, обозначается Гн. Индуктивность равна 1 Гн, если изменение тока со скоростью 1 А/с вызывает ЭДС самоиндукции 1 В. Поэтому 1 Гн = 1 В·с/А.

Как это устроено

Когда ток проходит по проводнику, вокруг него возникает магнитное поле. Если сила тока увеличивается или уменьшается, меняется и напряжённость этого поля. Поэтому изменяется магнитный поток, пронизывающий контур или витки самой цепи.

Изменение собственного магнитного потока вызывает ЭДС индукции в той же цепи. Это не отдельный источник, вставленный в цепь, а результат действия изменяющегося магнитного поля на собственный проводник. Такое проявление электромагнитной индукции называют самоиндукцией.

По правилу Ленца возникающая ЭДС противодействует изменению тока. При увеличении тока она создаёт действие, направленное против его нарастания, поэтому ток возрастает не мгновенно. При уменьшении тока ЭДС направлена так, чтобы поддержать ток и замедлить его спад.

Для данной цепи магнитный потокосцепление пропорционально силе тока: ψ = LI. Потокосцепление ψ учитывает суммарное действие магнитного потока, связанного со всеми витками катушки. Подставляя эту связь в закон электромагнитной индукции, получают ε_си = −L·dI/dt. Индуктивность определяется формой и размерами цепи, числом витков, сердечником и средой, поэтому при постоянных условиях не зависит от текущего тока.

Самоиндукция и индуктивность: основные характеристики

Таблицу удобно использовать как краткую схему: сначала определите, о каком явлении или величине идёт речь, затем найдите её обозначение. Для решения задач особенно важны связи ψ = LI и ε_си = −L·dI/dt.

Если ток изменяется равномерно, производную можно заменить отношением ΔI/Δt. Знак ЭДС определяют по правилу Ленца, а модуль — по формуле |ε_си| = L·|ΔI/Δt|.

Разбор задач

Задача 1

В катушке L = 0,20 Гн ток изменяется от 1 А до 4 А за 0,30 с. Требуется найти модуль ЭДС самоиндукции. Изменение равномерное, поэтому достаточно вычислить скорость изменения тока.

1. Найдём изменение тока: ΔI = 4 − 1 = 3 А.
2. Вычислим скорость: ΔI/Δt = 3/0,30 = 10 А/с.
3. Подставим в формулу: |ε_си| = L·|ΔI/Δt| = 0,20·10 = 2 В.

Ответ: модуль ЭДС самоиндукции равен 2 В. Так как ток возрастает, ЭДС направлена против его увеличения.

Задача 2

Индуктивность катушки равна 0,50 Гн, ток составляет 2 А. Сначала найдём потокосцепление, а затем ЭДС при уменьшении тока со скоростью 3 А/с. Для второй части дан уже модуль скорости изменения тока.

1. По формуле ψ = LI получаем ψ = 0,50·2 = 1 Вб·виток.
2. Модуль ЭДС равен |ε_си| = L·|dI/dt| = 0,50·3 = 1,5 В.
3. Ток уменьшается, поэтому ЭДС направлена по току и препятствует его ослаблению.

Ответ: ψ = 1 Вб·виток, |ε_си| = 1,5 В. Направление ЭДС совпадает с направлением тока.

Задача 3

Ток в катушке L = 0,40 Гн равномерно возрастает от 0 до 5 А за 0,20 с. Нужно найти ЭДС самоиндукции и изменение энергии магнитного поля. Начальная энергия равна нулю, поскольку первоначальный ток отсутствует.

1. Скорость изменения тока: ΔI/Δt = (5 − 0)/0,20 = 25 А/с.
2. Модуль ЭДС: |ε_си| = 0,40·25 = 10 В.
3. Конечная энергия поля: W = LI²/2 = 0,40·5²/2 = 5 Дж.
4. Изменение энергии равно 5 − 0 = 5 Дж; эта энергия накоплена магнитным полем катушки.

Ответ: ЭДС самоиндукции по модулю равна 10 В, энергия магнитного поля увеличилась на 5 Дж. ЭДС направлена против нарастания тока.

Типичные ошибки

Считают, что ЭДС самоиндукции всегда направлена против тока. Так происходит из-за неточного запоминания правила Ленца: на самом деле ЭДС противодействует изменению тока, поэтому при уменьшении тока направлена по нему. Проверьте себя, сначала определив, ток возрастает или убывает.

Теряют знак минус в формуле ε_си = −L·dI/dt или не объясняют его. Минус отражает правило Ленца и задаёт направление ЭДС относительно изменения тока. Если требуется только модуль, используйте |ε_си|, но направление укажите отдельно.

Путают индуктивность с силой тока или магнитным потоком. Индуктивность — характеристика самой цепи, измеряемая в генри; ток и поток могут изменяться во времени. Проверьте единицы: для L должна получаться единица Гн, а не ампер или вебер.

Подставляют в формулу одно лишь изменение тока ΔI. ЭДС зависит от того, насколько быстро это изменение происходит, поэтому нужна величина ΔI/Δt или производная dI/dt. Проверьте размерность: Гн·А/с даёт вольт.

Связь с другими темами

Для понимания самоиндукции нужны закон электромагнитной индукции Фарадея, правило Ленца и понятие магнитного потока. Они объясняют, почему изменение поля порождает ЭДС и как определить её направление.

Самоиндукция особенно заметна при включении и выключении цепей с катушками. Индуктивность используется при изучении переменного тока и энергии магнитного поля, запасённой в катушке.

Что запомнить

• Изменение тока в цепи изменяет её собственный магнитный поток.
• Самоиндукция — частный случай электромагнитной индукции.
• ЭДС самоиндукции препятствует изменению тока, а не обязательно самому току.
• Для цепи с постоянной индуктивностью ε_си = −L·dI/dt.
• Потокосцепление связано с током соотношением ψ = LI.
• Единица индуктивности — генри: 1 Гн = 1 В·с/А.
• Энергия магнитного поля катушки с током равна W = LI²/2.