Упражнение 1

Определения и обозначения

Электрический заряд — физическая величина, характеризующая способность тел участвовать в электрическом взаимодействии. Заряд обозначают q и измеряют в кулонах (Кл); он бывает положительным и отрицательным. Это понятие позволяет описывать, как тела воздействуют друг на друга, не сводя взаимодействие к их массе или размеру.

Элементарный заряд — наименьший по модулю заряд свободной частицы, который встречается в природе: e = 1,6 · 10⁻¹⁹ Кл. Заряд электрона равен qₑ = −e, а протона — qₚ = +e. Это значение помогает сравнивать заряды тел с зарядом частиц, из которых они состоят.

Закон сохранения электрического заряда утверждает: в замкнутой системе алгебраическая сумма зарядов остаётся постоянной, Σq = const. Алгебраическая сумма учитывает знаки зарядов, поэтому положительный и отрицательный заряды могут взаимно компенсироваться. Закон нужен, чтобы проверять, куда перешёл заряд при взаимодействии тел.

Закон Кулона определяет силу взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов: F = k|q₁q₂|/r². Здесь F — модуль силы, q₁ и q₂ — заряды, r — расстояние между ними, k — коэффициент, зависящий от выбранных единиц и среды. Формула позволяет рассчитать силу, а знаки зарядов отдельно показывают, притягиваются они или отталкиваются.

Как это устроено

При контакте или трении одни электроны могут перейти с одного тела на другое, потому что связь электронов с веществом у тел различается. Тело, получившее избыток электронов, заряжается отрицательно, а потерявшее часть электронов — положительно. В результате меняются заряды обоих тел, но суммарный заряд замкнутой системы не меняется. Так электризация объясняется переносом уже существующего заряда, а не его появлением из ничего.

Заряд одного знака создаёт вокруг себя электрическое воздействие, которое направлено для пробного положительного заряда от положительного источника и к отрицательному. Поэтому два положительных заряда стремятся разойтись, как и два отрицательных: силы направлены в противоположные стороны от каждого источника. У разноимённых зарядов силы направлены навстречу друг другу. Это правило позволяет установить направление взаимодействия, не вычисляя сначала его величину.

В законе Кулона модули зарядов перемножаются, поэтому увеличение одного заряда в n раз увеличивает силу в n раз; увеличение обоих в n раз увеличивает её в n² раз. Расстояние входит в знаменатель в квадрате: если оно выросло в n раз, сила стала в n² раз меньше. Например, при удвоении расстояния сила уменьшается в четыре раза. Именно зависимость от квадрата расстояния отличает закон Кулона от простой обратной пропорциональности.

Закон Кулона относится к точечным зарядам, то есть к телам, размерами которых можно пренебречь по сравнению с расстоянием между ними. Для достаточно удалённых сферически симметричных заряженных тел такое приближение тоже обычно подходит. В вакууме F = k|q₁q₂|/r², где k ≈ 9 · 10⁹ Н·м²/Кл². В однородной среде силу уменьшают в ε раз: F = k|q₁q₂|/(εr²), где ε — относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Если на выбранный заряд воздействуют несколько других, каждый источник создаёт свою силу независимо от остальных. Сначала находят эти силы по закону Кулона и определяют направление каждой по знакам зарядов. Затем силы складывают векторно, потому что сила имеет не только величину, но и направление. На одной прямой можно выбрать положительное направление и складывать проекции сил с их знаками; в других случаях складывают компоненты по осям.

Электрические заряды и их взаимодействие

Сначала определите, какая строка таблицы подходит к задаче, затем проверьте единицы и выберите формулу или правило. Для расчёта силы используйте модули зарядов, а направления устанавливайте по знакам. Если источников несколько, таблица напоминает, что итоговая сила получается векторным сложением.

Разбор задач

Два точечных заряда в вакууме

Условие. Заряды q₁ = 2 мкКл и q₂ = −3 мкКл находятся в вакууме на расстоянии r = 20 см. Найдём модуль силы и укажем характер взаимодействия. Для вычислений используем k = 9 · 10⁹ Н·м²/Кл².

1. Переведём величины в СИ: q₁ = 2 · 10⁻⁶ Кл, q₂ = −3 · 10⁻⁶ Кл, r = 0,20 м.
2. Подставим модули зарядов в закон Кулона: F = 9 · 10⁹ · (2 · 10⁻⁶ · 3 · 10⁻⁶)/(0,20)².
3. Вычислим: F = 0,675 Н. Заряды имеют разные знаки, поэтому они притягиваются.

Ответ: модуль силы равен 0,675 Н; взаимодействие — притяжение. Модули использовались в формуле силы, а знаки понадобились для определения характера взаимодействия. Проверка единиц до подстановки помогает избежать ошибки из-за сантиметров или микрокулонов.

Как меняется сила при изменении зарядов и расстояния

Условие. Один из зарядов увеличили в три раза, а расстояние между зарядами — в два раза; второй заряд и среда не изменились. Определим отношение новой силы к первоначальной, не выбирая конкретные значения зарядов. Обозначим исходную силу F₁, а новую — F₂.

1. Запишем закон Кулона для обоих случаев: F = k|q₁q₂|/(εr²).
2. Изменение одного заряда умножает силу на 3, а удвоение расстояния делит её на 2² = 4.
3. Перемножим коэффициенты изменения: F₂/F₁ = 3/4, значит новая сила составляет три четверти исходной.

Ответ: сила уменьшится в 4/3 раза, то есть станет равна 0,75 первоначальной. Такой способ удобен, когда спрашивают только об изменении силы: численные значения зарядов и расстояния не нужны. Важно возводить коэффициент изменения расстояния в квадрат.

Результирующая сила на одной прямой

Условие. Заряд q₀ = +1 мкКл расположен между зарядами q₁ = +2 мкКл и q₂ = −3 мкКл. Расстояние от q₁ до q₀ равно 0,10 м, а от q₀ до q₂ — 0,20 м; все заряды находятся в вакууме на одной прямой. Найдём результирующую силу на q₀.

1. Переведём заряды в кулоны: q₀ = 1 · 10⁻⁶ Кл, q₁ = 2 · 10⁻⁶ Кл, q₂ = −3 · 10⁻⁶ Кл. Выберем направление вправо, к q₂, за положительное.
2. q₁ и q₀ одноимённы, значит q₁ отталкивает q₀ вправо: F₁ = 9 · 10⁹ · (2 · 10⁻⁶ · 1 · 10⁻⁶)/(0,10)² = 1,8 Н.
3. q₂ и q₀ разноимённы, поэтому q₂ притягивает q₀ тоже вправо: F₂ = 9 · 10⁹ · (3 · 10⁻⁶ · 1 · 10⁻⁶)/(0,20)² = 0,675 Н.
4. Обе силы направлены вправо, поэтому их модули складываются: Fрез = 1,8 + 0,675 = 2,475 Н.

Ответ: на q₀ действует сила 2,475 Н вправо. Если бы силы были направлены в противоположные стороны, следовало бы вычитать их модули, а направление результата определять по большей силе. Выбор оси заранее делает такое сложение однозначным.

Типичные ошибки

• Не переводить сантиметры или миллиметры в метры. Ошибку допускают, когда подставляют в формулу числа из условия без проверки единиц; поскольку расстояние возводится в квадрат, результат может отличаться особенно сильно. Перед расчётом запишите q в кулонах и r в метрах, а затем проверьте, что ответ получен в ньютонах.

• Забывать квадрат расстояния. Тогда силу ошибочно считают обратно пропорциональной r, а не r². Такую ошибку легко заметить проверкой изменения: при удвоении расстояния сила должна стать в четыре раза меньше, а не в два.

• Игнорировать знаки зарядов. Если считать заряд только положительным числом, можно правильно найти модуль силы, но неверно определить, притягиваются тела или отталкиваются. Сначала возьмите модули для формулы, а затем сравните исходные знаки и укажите направление взаимодействия.

• Складывать только модули нескольких сил. Это верно лишь тогда, когда силы направлены одинаково; при противоположных направлениях результирующий модуль равен разности. Нарисуйте направления или задайте ось и сложите проекции сил с учётом их знаков.

Связь с другими темами

Для работы с зарядами нужно знать, что тела электризуются, а положительный и отрицательный заряды различаются знаком; полезно также уверенно переводить величины в СИ. Закон Кулона станет основой для изучения напряжённости электрического поля и расчёта поля системы зарядов: влияние отдельных источников затем тоже учитывают совместно. Закон сохранения заряда применяется при анализе электрических цепей и переносе заряда, когда важно проследить, где заряд появился и куда переместился.

Что запомнить

• Электрический заряд бывает положительным и отрицательным.
• Одноимённые заряды отталкиваются, разноимённые притягиваются.
• Алгебраическая сумма зарядов замкнутой системы сохраняется.
• Закон Кулона описывает взаимодействие неподвижных точечных зарядов.
• Сила Кулона пропорциональна произведению модулей зарядов.
• Сила Кулона обратно пропорциональна квадрату расстояния между зарядами.
• Силы от нескольких зарядов складываются векторно.