§ 37. Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая электрическая цепь, состоящая из конденсатора и катушки индуктивности. Конденсатор накапливает электрический заряд и энергию электрического поля, а катушка создаёт магнитное поле при прохождении тока. Эти элементы позволяют энергии переходить из одной формы в другую, поэтому в контуре могут возникать колебания.

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда конденсатора, напряжения и силы тока после начального возбуждения контура, без внешнего периодического воздействия. Начальным возбуждением может быть зарядка конденсатора. Термин «свободные» показывает, что дальнейшее изменение величин происходит благодаря самому контуру, а не из-за постоянно работающего источника.

Собственная частота — частота колебаний, определяемая параметрами самого контура. Её обозначают греческой буквой ν и измеряют в герцах: один герц означает одно колебание за секунду. Зная частоту, можно понять, насколько быстро повторяются циклы колебаний.

Формула Томсона связывает период собственных колебаний с ёмкостью конденсатора C и индуктивностью катушки L: T = 2π√(LC). Здесь T — период в секундах, C нужно подставлять в фарадах, а L — в генри. Формула позволяет рассчитать время одного полного колебания по характеристикам элементов цепи.

Как это устроено

Сначала конденсатор заряжают, и между его обкладками возникает электрическое поле. Когда конденсатор соединяют с катушкой, напряжение заставляет заряды двигаться, то есть в цепи появляется ток. По мере разрядки конденсатора его электрическая энергия уменьшается, а усиливающийся ток создаёт всё более сильное магнитное поле катушки.

Когда конденсатор разрядился, заряд на его обкладках равен нулю, но ток в катушке к этому моменту максимален. Ток не может исчезнуть мгновенно: при его изменении в катушке возникает ЭДС самоиндукции, которая препятствует резкому изменению тока. Поэтому движение зарядов продолжается и переносит их на обкладки конденсатора уже в обратном направлении, перезаряжая его.

После перезарядки ток постепенно ослабевает, а заряд и напряжение конденсатора снова растут, но имеют противоположный знак. При этом магнитное поле катушки уменьшается и передаёт свою энергию электрическому полю конденсатора. Затем конденсатор вновь разряжается, теперь ток направлен противоположно, и процесс повторяется.

В идеальном контуре, где нет потерь, энергия лишь переходит между электрическим полем конденсатора и магнитным полем катушки. Когда заряд и напряжение максимальны, ток равен нулю; когда заряд равен нулю, ток достигает максимума. Сумма энергий двух полей остаётся постоянной, хотя каждая из них по отдельности меняется в течение колебания.

Период колебаний задаётся формулой Томсона T = 2π√(LC), а частота связана с периодом соотношением ν = 1/T. Если увеличить ёмкость C или индуктивность L, период станет больше: системе требуется больше времени для полного обмена энергией. Значит, колебания замедлятся, а частота уменьшится. В реальном контуре проводники имеют сопротивление, поэтому часть энергии превращается в тепло; амплитуды тока и заряда постепенно уменьшаются, и колебания затухают.

Читайте таблицу по стадиям слева направо: она показывает, как меняются электрические величины и где в этот момент находится энергия. Сопоставляйте заряд с током: их максимумы приходятся на разные стадии. В реальном контуре из-за потерь приведённые максимальные значения от цикла к циклу становятся меньше.

Разбор задач

Конденсатор ёмкостью 2 мкФ и катушка индуктивностью 0,5 Гн образуют контур. Требуется найти период и частоту собственных колебаний. Сначала переводим величины в единицы СИ, чтобы подстановка в формулу Томсона была корректной. Затем находим период, а частоту вычисляем как обратную ему величину.

1. Записываем данные: C = 2 мкФ = 2 · 10⁻⁶ Ф, L = 0,5 Гн. Используем формулу T = 2π√(LC), потому что она прямо связывает период с ёмкостью и индуктивностью.
2. Подставляем значения: T = 2π√(0,5 · 2 · 10⁻⁶) = 2π√(10⁻⁶) ≈ 0,00628 с. Это примерно 6,28 мс.
3. Находим частоту: ν = 1/T ≈ 1/0,00628 ≈ 159 Гц. Проверка здравого смысла: период меньше одной сотой секунды, значит за секунду успевает пройти больше ста колебаний.

Ответ: T ≈ 6,28 · 10⁻³ с; ν ≈ 159 Гц. Период показывает длительность одного полного цикла, а частота — число циклов за секунду. Эти величины должны быть обратными друг другу.

В контуре максимальный заряд конденсатора равен 4 мкКл, а максимальная сила тока — 0,2 А. Найдём период колебаний по связи амплитуд заряда и тока: Iₘₐₓ = 2πqₘₐₓ/T. Здесь индекс «max» обозначает наибольшее значение величины за цикл. Выразим период из формулы и подставим данные в единицах СИ.

1. Переводим заряд: qₘₐₓ = 4 мкКл = 4 · 10⁻⁶ Кл. Переставляем формулу, чтобы искомый период стоял отдельно: T = 2πqₘₐₓ/Iₘₐₓ.
2. Подставляем значения: T = 2π · 4 · 10⁻⁶ / 0,2 ≈ 1,26 · 10⁻⁴ с. Деление на силу тока даёт секунды, что соответствует единице периода.
3. Оцениваем результат: полученное время меньше миллисекунды, значит колебания быстрые. В этой задаче ёмкость и индуктивность не нужны, так как амплитуды уже позволяют найти период.

Ответ: T ≈ 1,26 · 10⁻⁴ с. Амплитудная связь удобна, когда известны наибольший заряд и наибольший ток. Подставлять вместо них случайные мгновенные значения нельзя: формула использует именно максимумы.

В некоторый момент энергия электрического поля конденсатора равна энергии магнитного поля катушки. Нужно определить долю полной энергии каждого поля и сравнить заряд и ток с их максимальными значениями. Полная энергия — сумма энергий двух полей, поэтому равные слагаемые составляют одинаковые доли этой суммы. Связь энергии с квадратом заряда или тока поможет найти отношения величин к максимумам.

1. Обозначим энергию каждого поля через W. Тогда полная энергия равна Wполн = Wэл + Wмаг = 2W. Каждое поле содержит половину полной энергии: Wэл/Wполн = Wмаг/Wполн = 1/2.
2. Электрическая энергия пропорциональна квадрату заряда: Wэл/Wполн = q²/qₘₐₓ². Поэтому q²/qₘₐₓ² = 1/2 и |q|/qₘₐₓ = 1/√2 ≈ 0,71.
3. Магнитная энергия пропорциональна квадрату силы тока: Wмаг/Wполн = I²/Iₘₐₓ². Отсюда |I|/Iₘₐₓ = 1/√2 ≈ 0,71. Знаки заряда и направления тока по условию определить нельзя, но их модули составляют одинаковую долю максимумов.

Ответ: каждое поле содержит 1/2 полной энергии; модуль заряда равен примерно 0,71qₘₐₓ, а модуль тока — примерно 0,71Iₘₐₓ. Доли относятся к энергиям, а не непосредственно к заряду и току. Поэтому из половины энергии получается величина 1/√2 от максимума, а не половина максимума.

Типичные ошибки

Период и частоту иногда путают, хотя период измеряют в секундах, а частоту — в герцах; между ними соотношение ν = 1/T. Ошибка возникает из-за того, что обе величины описывают быстроту повторения колебаний. Проверьте себя по единицам и убедитесь, что при большем периоде частота меньше.

При использовании формулы Томсона можно оставить ёмкость в микрофарадах или индуктивность в единицах, отличных от генри. Тогда численный результат окажется неверным, хотя действия с формулой будут выглядеть правильными. Перед подстановкой переведите C в фарады, L — в генри, а после вычисления проверьте, что период получился в секундах.

Ещё одна ошибка — считать, что заряд и ток достигают максимумов одновременно. Заряд максимален в момент, когда конденсатор полностью заряжен и ток равен нулю; максимальный ток бывает при нулевом заряде. Сверьте ответ с таблицей стадий: одновременный максимум этих величин ей противоречит.

Нельзя без оговорки считать, что реальные колебания сохраняют прежнюю амплитуду. Это допустимо только для идеальной модели, в которой потерями пренебрегают; в настоящей цепи сопротивление проводников рассеивает энергию. Проверка проста: уточните, сказано ли в условии «идеальный контур» или разрешено ли не учитывать сопротивление.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны закон Ома, понятия работы и энергии электрического тока, ёмкости конденсатора и индуктивности катушки. Колебания в контуре продолжают изучение механических колебаний: у каждой системы есть собственный период, хотя физические величины у них разные. Далее эти знания помогают разбираться в переменном токе, резонансе, радиосвязи и электромагнитных волнах. В частности, контуры используют для выбора и настройки нужной частоты сигнала.

Что запомнить

• Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности.
• Свободные колебания возникают после начального возбуждения без внешнего периодического воздействия.
• Энергия переходит из электрической энергии конденсатора в магнитную энергию катушки и обратно.
• В идеальном контуре полная энергия сохраняется.
• Период собственных колебаний определяется формулой T = 2π√(LC).
• Частота связана с периодом соотношением ν = 1/T.
• В реальном контуре свободные колебания постепенно затухают.

График показывает изменения заряда и силы тока в идеальном контуре на протяжении нескольких периодов. Их период одинаков, но колебания сдвинуты по фазе на четверть периода: при максимальном заряде ток равен нулю, а при максимальном токе заряд равен нулю.

Как это устроено