§ 34. Колебательный контур. Свободные электромагнитные колебания

Определения и обозначения

Колебательный контур — замкнутая цепь из конденсатора и катушки индуктивности. Конденсатор способен накапливать заряд и энергию электрического поля, а катушка создаёт магнитное поле при прохождении тока. Вместе эти элементы позволяют энергии переходить из одной формы в другую.

Свободные электромагнитные колебания — периодические изменения заряда, силы тока и напряжения в контуре после первоначального возбуждения, без внешнего периодического воздействия. Начальным возбуждением может быть зарядка конденсатора. Это понятие отличает собственные колебания контура от колебаний, которые поддерживает внешний источник.

Период свободных электромагнитных колебаний — время, за которое состояние контура полностью повторяется; его обозначают T. Число полных колебаний за единицу времени называют частотой ν, поэтому ν = 1/T, а T = 1/ν. Период измеряют в секундах, частоту — в герцах.

Энергия колебательного контура — сумма энергий электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки. Первая связана с зарядом конденсатора, вторая — с током в катушке. Такое представление помогает проследить, куда переходит энергия во время колебаний.

Как это устроено

Чтобы запустить колебания, сначала конденсатор заряжают, например, подключив его к источнику напряжения. На его обкладках накапливаются противоположные заряды, и между ними возникает электрическое поле. Затем источник отключают, а конденсатор замыкают на катушку: теперь заряд может перетекать по замкнутой цепи. Это начальное состояние и даёт контуру запас энергии для последующего движения.

Конденсатор начинает разряжаться, и через катушку идёт ток. Чем быстрее меняется ток, тем заметнее проявляется самоиндукция: в катушке возникает ЭДС, которая препятствует изменению тока. Поэтому ток не обрывается мгновенно, когда заряд на конденсаторе становится равен нулю. В этот момент движение зарядов продолжается, поскольку магнитное поле катушки ещё обладает энергией.

Продолжающийся ток переносит заряды на обкладки конденсатора и постепенно заряжает его с противоположной полярностью. По мере этого процесса ток ослабевает, пока не станет равен нулю при максимальном по модулю заряде. Затем конденсатор снова начинает разряжаться, но теперь ток течёт в обратном направлении. Перераспределение зарядов и смена направления тока повторяются периодически.

Вначале энергия сосредоточена в электрическом поле заряженного конденсатора, а при его разряде переходит в магнитное поле катушки. Когда заряд равен нулю, ток и магнитная энергия достигают максимума; при максимальном заряде ток равен нулю, а электрическая энергия максимальна. В идеальном контуре нет сопротивления, поэтому энергия не превращается в тепло и полная энергия остаётся неизменной. В реальной цепи сопротивление приводит к потерям, и колебания постепенно затухают.

Период идеальных колебаний задаёт формула Томсона: T = 2π√(LC), где L — индуктивность катушки, а C — ёмкость конденсатора. Для подстановки L выражают в генри, C — в фарадах, тогда T получается в секундах. Увеличение любого из этих параметров увеличивает период: контуру требуется больше времени на полный обмен энергией. Формула относится к идеальному контуру и не учитывает сопротивление и затухание.

Энергия в колебательном контуре

Таблица описывает идеальный контур и показывает, как меняются две формы энергии в течение колебания. Сравнивайте соседние строки: уменьшение одной энергии сопровождается увеличением другой. При максимуме одной формы другая в этот момент равна нулю.

Разбор задач

Найдём период по ёмкости и индуктивности

В контуре C = 4 мкФ, L = 0,25 Гн. Требуется найти период свободных колебаний. Используем формулу Томсона, которая подходит для идеального контура. Сначала переведём величины в СИ, чтобы результат получился в секундах.

1. Записываем формулу: T = 2π√(LC).
2. Переводим единицы: C = 4 · 10⁻⁶ Ф, L = 0,25 Гн.
3. Подставляем: T = 2π√(0,25 · 4 · 10⁻⁶) = 2π√(10⁻⁶) = 2π · 10⁻³ с.
4. Вычисляем: T ≈ 6,28 · 10⁻³ с = 6,28 мс.

Ответ: период равен примерно 6,28 мс. Порядок величины разумен: при ёмкости в микрофарадах и указанной индуктивности период получается в миллисекундах. Перед расчётом важно перевести микрофарады в фарады.

Изменение величин за четверть периода

Изначально конденсатор заряжен максимально и подключён к катушке; нужно описать четверть периода. В начале заряд и энергия электрического поля максимальны, а ток равен нулю. По мере разряда заряд уменьшается, зато ток и энергия магнитного поля растут. Это следует из перехода энергии между конденсатором и катушкой.

1. В начале четверти периода: заряд максимален, ток равен нулю, электрическая энергия максимальна.
2. Во время разряда заряд уменьшается, сила тока увеличивается; энергия электрического поля переходит в магнитную.
3. В конце четверти периода заряд становится равен нулю, ток достигает максимума, магнитная энергия максимальна.
4. В идеальном контуре сумма энергий на всём этом участке остаётся постоянной.

Ответ: за четверть периода конденсатор разряжается до нулевого заряда, ток возрастает от нуля до максимума, а энергия переходит из электрического поля в магнитное. Ток максимален не при максимальном заряде, а именно при нулевом заряде.

Найдём индуктивность по периоду и ёмкости

Дано: T = 2 мс, C = 10 мкФ. Нужно определить индуктивность катушки. Здесь неизвестна L, поэтому сначала преобразуем формулу Томсона. Перевод единиц в СИ необходим и в этой задаче: иначе расчёт даст неверный результат.

1. Исходная формула: T = 2π√(LC). Делим обе части на 2π и возводим в квадрат: L = T²/(4π²C).
2. Переводим величины: T = 2 · 10⁻³ с, C = 10 · 10⁻⁶ Ф = 10⁻⁵ Ф.
3. Подставляем: L = (2 · 10⁻³)²/(4π² · 10⁻⁵) = 4 · 10⁻⁶/(4π² · 10⁻⁵) ≈ 0,010 Гн.
4. Проверяем единицы: с²/Ф равны генри, как и должно быть для индуктивности.

Ответ: индуктивность катушки приблизительно равна 0,010 Гн, или 10 мГн. При преобразовании формулы квадрат периода необходимо сохранить. Проверка единиц помогает заметить ошибку при вычислениях.

Типичные ошибки

Ошибочно считать, что ток прекращается сразу после разряда конденсатора. Это происходит из-за смешения момента нулевого заряда с моментом остановки движения зарядов. Самоиндукция поддерживает ток, и он начинает перезаряжать конденсатор. Проверьте себя: при нулевом заряде в идеальном контуре ток максимален.

Некоторые предполагают, что направление тока во всём процессе остаётся прежним. Но при перезарядке конденсатора его полярность становится противоположной, а следующий разряд вызывает ток обратного направления. Следите за тем, какая обкладка заряжена положительно на каждом этапе. Смена полярности означает, что направление тока в соседних половинах колебания различается.

Нельзя заключать, что энергия исчезает, когда заряд или ток равен нулю. Путаница возникает, если учитывать только энергию конденсатора или только энергию катушки. При нулевом заряде энергия находится в магнитном поле катушки, а при нулевом токе — в электрическом поле конденсатора. Проверка: в идеальном контуре сумма двух энергий сохраняется.

Подстановка микрофарад и миллисекунд без перевода в СИ и пропуск квадратного корня дают неверный период. Такие ошибки часто возникают из-за спешки при использовании формулы Томсона. Записывайте отдельно: C в фарадах, L в генри, затем вычисляйте √(LC) и умножайте на 2π. Полезно проверить, что результат имеет единицу времени — секунду.

Связь с другими темами

Для понимания контура нужны знания об устройстве конденсатора и катушки, а также о заряде, силе тока и напряжении. Понятие электромагнитной индукции объясняет, почему в катушке возникает ЭДС при изменении тока; самоиндукция — её частный случай. Эти знания помогают проследить весь обмен энергией в цепи.

Колебательный контур служит основой для изучения переменного тока и вынужденных колебаний, которые поддерживаются внешним периодическим воздействием. Сравнение свободных и вынужденных колебаний помогает понять, как источник влияет на систему. Далее это понадобится при изучении резонанса — резкого увеличения амплитуды при определённых условиях.

Что запомнить

• Колебательный контур состоит из конденсатора и катушки индуктивности.
• Свободные колебания возникают после начального возбуждения контура без внешнего периодического воздействия.
• Разряд конденсатора создаёт ток, а самоиндукция поддерживает его изменение.
• В контуре энергия периодически переходит из электрической в магнитную и обратно.
• В идеальном контуре полная энергия сохраняется.
• Период свободных колебаний задаётся формулой Томсона: T = 2π√(LC).