§ 47. Тонкие линзы

Определения и обозначения

Тонкая линза — прозрачное тело, толщиной которого в рассматриваемых задачах пренебрегают по сравнению с радиусами кривизны поверхностей. Иными словами, слой материала считают достаточно узким, чтобы не учитывать отдельно расстояние между местами преломления света. Благодаря этому линзу удобно изображать одной линией, а расчёты становятся проще. Такое приближение подходит, когда толщина действительно мала относительно размеров поверхностей.

Оптический центр — точка линзы, проходя через которую световой луч распространяется практически без изменения направления. В построениях линзу считают тонкой, поэтому луч через эту точку не отклоняется. Это свойство даёт один из главных лучей для получения изображения. Обозначать оптический центр обычно не требуется: его отмечают на схеме в месте пересечения линзы с главной осью.

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы и её оптический центр. Она служит ориентиром, относительно которого описывают ход лучей и положение фокусов. Лучи, идущие параллельно этой оси, особенно важны: после преломления их направление связано с фокусом. На схеме главную ось обычно проводят горизонтально через центр линзы.

Фокус линзы — точка, где после преломления сходятся лучи, параллельные главной оси; у рассеивающей линзы сходятся продолжения таких лучей. Фокусное расстояние F — расстояние от фокуса до оптического центра. Оно показывает, насколько сильно линза собирает или рассеивает свет: чем меньше модуль F, тем сильнее её действие. Знак F зависит от типа линзы: у собирающей он положительный, у рассеивающей — отрицательный.

Как это устроено

Когда свет переходит из воздуха в стекло или пластик, его скорость меняется, поэтому на границе сред луч преломляется. На выходе из линзы происходит второе преломление, и оно снова меняет направление света. Поверхности линзы искривлены, поэтому разные участки направляют лучи по-разному: одни лучи после прохождения сближаются, другие удаляются друг от друга. Так линза управляет схождением пучка и позволяет получать изображения.

По действию различают собирающие и рассеивающие линзы. Собирающая линза сводит параллельные лучи к фокусу; обычно она толще в середине, чем у краёв, поэтому преломляет лучи к главной оси. Рассеивающая линза, напротив, разводит параллельные лучи, и обычно она тоньше в середине. Форма помогает предположить вид линзы, однако проверять её действие лучше по ходу лучей: сложная форма или материал могут сделать внешний признак ненадёжным.

Луч, идущий параллельно главной оси, после собирающей линзы направляется через фокус: преломление на поверхностях меняет его направление так, что он приближается к оси. У рассеивающей линзы луч отклоняется от оси и расходится с другими лучами. Если продолжить его назад прямой линией, продолжение пройдёт через фокус, поэтому этот фокус называют мнимым. Луч через оптический центр практически не отклоняется, а луч, направленный через фокус собирающей линзы, после преломления идёт параллельно оси.

Чтобы построить изображение, достаточно найти пересечение двух лучей, вышедших из одной точки предмета. Используют луч через оптический центр, осевой параллельный луч и луч через фокус; обычно выбирают любые два из них. У собирающей линзы преломлённые лучи могут реально пересечься — тогда изображение действительное. У рассеивающей линзы лучи после линзы расходятся, поэтому для построения продлевают их назад пунктиром: пересечение продолжений задаёт мнимое изображение.

Расстояние a от предмета до линзы, расстояние b от линзы до изображения и фокусное расстояние F связаны формулой тонкой линзы: 1/F = 1/a + 1/b. Для действительного предмета a положительно; b положительно у действительного изображения и отрицательно у мнимого, а знак F задаёт тип линзы. Увеличение Γ = −b/a показывает отношение размера изображения к размеру предмета: модуль больше единицы означает увеличение, меньше единицы — уменьшение. Отрицательный знак Γ означает перевёрнутое изображение, положительный — прямое.

Сравнение собирающей и рассеивающей линз

Сначала сравните действие линзы на параллельный пучок и знак F, а уже затем учитывайте форму: она может подсказать ответ, но не заменяет проверку. Последняя строка относится к реальному предмету, а свойства изображения собирающей линзы зависят от расстояния до неё. Для построения выберите два главных луча; у рассеивающей линзы не забудьте продолжить расходящиеся лучи назад.

Разбор задач

Задача 1. Определить вид линзы и её оптическую силу, если фокусное расстояние равно 20 см. Оптическая сила вычисляется по формуле D = 1/F, где F нужно подставлять в метрах. Положительное значение F указывает на собирающую линзу, отрицательное — на рассеивающую. Так как в условии знак не указан, считаем F = +20 см.

1. Переведём фокусное расстояние в метры: F = 20 см = 0,20 м.
2. Знак расстояния положительный, значит линза собирающая.
3. Вычислим оптическую силу: D = 1/0,20 м = +5 дптр.

Ответ: собирающая линза, оптическая сила +5 дптр. Если бы в условии было указано F = −20 см, линза была бы рассеивающей, а её сила составила бы −5 дптр.

Задача 2. Предмет находится на расстоянии 30 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см. Найдём расстояние до изображения и его увеличение, чтобы определить размер и ориентацию изображения. Для действительного предмета a = +30 см, а у собирающей линзы F = +10 см. Используем формулу тонкой линзы и затем проверим результат знаком и модулем увеличения.

1. Запишем формулу: 1/F = 1/a + 1/b, поэтому 1/b = 1/F − 1/a.
2. Подставим значения: 1/b = 1/10 − 1/30 = 2/30 = 1/15, откуда b = +15 см.
3. Найдём увеличение: Γ = −b/a = −15/30 = −0,5. Модуль 0,5 означает уменьшение в два раза, а знак минус — переворот.

Ответ: изображение расположено в 15 см за линзой, оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное в два раза. Это согласуется с построением: предмет находится дальше двойного фокуса, а изображение возникает между фокусом и двойным фокусом.

Задача 3. Предмет расположен на расстоянии 30 см от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием −20 см. Нужно найти положение и увеличение изображения и объяснить результат построением. Берём a = +30 см и F = −20 см: отрицательный знак фокуса учитывает рассеивание света. Если расчёт даст отрицательное b, изображение окажется мнимым.

1. Из формулы 1/F = 1/a + 1/b выразим обратное расстояние до изображения: 1/b = 1/F − 1/a.
2. Подставим данные: 1/b = −1/20 − 1/30 = −5/60 = −1/12, значит b = −12 см.
3. Вычислим увеличение: Γ = −b/a = −(−12)/30 = +0,4. Знак плюс показывает прямое изображение, модуль меньше единицы — уменьшенное.

Ответ: изображение мнимое, прямое и уменьшенное в 2,5 раза; оно находится в 12 см от линзы со стороны предмета. При построении лучи за рассеивающей линзой расходятся, а их продолжения назад пересекаются именно со стороны предмета.

Типичные ошибки

Путают тип линзы по внешнему виду. Обычно середина собирающей линзы толще, а рассеивающей тоньше, поэтому этот признак кажется достаточным. Однако из-за формы или материала линза может действовать не так, как подсказывает первое впечатление. Проверьте, сходятся ли после неё параллельные лучи или расходятся; при необходимости учитывайте знак F.

Не переводят F в метры при расчёте оптической силы. Такая ошибка возникает потому, что расстояния в условии часто даны в сантиметрах, и их хочется сразу подставить в D = 1/F. Но диоптрия соответствует обратному метру, а не обратному сантиметру. Перед вычислением запишите F в метрах, а ответ укажите в диоптриях.

Подставляют в формулу модули расстояний, игнорируя знаки. Так часто поступают, потому что обычные геометрические расстояния кажутся всегда положительными. Но знак b различает действительное и мнимое изображение, а знак F — тип линзы; без них решение теряет физический смысл. Проверьте, соответствует ли результат ходу лучей и условиям задачи.

Неверно проводят луч через оптический центр или строят расходящиеся лучи без продолжений. Причина — желание изобразить любой луч как преломляющийся и привычка искать пересечение только самих лучей. В модели тонкой линзы центральный луч идёт почти прямо, а у мнимого изображения пересекаются продолжения лучей. Проведите центральный луч без излома и добавьте пунктирные продолжения, если лучи расходятся.

Связь с другими темами

Для изучения линз нужны законы преломления света и представление о показателе преломления: они объясняют, почему луч меняет направление на границе сред. Построение хода лучей помогает изображать путь света на схемах. Подобие треугольников пригодится для связи размеров предмета и изображения с увеличением.

Линзы работают в глазу, фотоаппарате, микроскопе и телескопе. В глазу они помогают сформировать изображение на сетчатке, а в приборах комбинации линз изменяют размер и чёткость изображения. Поэтому свойства фокуса и увеличения нужны не только для решения задач, но и для понимания устройства оптики.

Дальше знания о тонкой линзе применяют при изучении изображений в оптических системах и расчёте увеличения приборов. В таких системах изображение, созданное одной линзой, может стать предметом для следующей. Это позволяет проследить, как свет проходит через несколько элементов.

Что запомнить

• Собирающая линза превращает параллельный пучок в сходящийся, а рассеивающая — в расходящийся.
• Фокусное расстояние — расстояние от оптического центра линзы до её фокуса.
• Оптическая сила линзы равна D = 1/F, где F выражено в метрах, и измеряется в диоптриях.
• Для тонкой линзы выполняется соотношение 1/F = 1/a + 1/b.
• Изображение собирающей линзы зависит от положения предмета относительно фокуса и двойного фокусного расстояния.
• Рассеивающая линза при действительном предмете даёт мнимое, прямое и уменьшенное изображение.
• Для построения изображения достаточно использовать основные лучи, ход которых известен.