§ 49. Построение изображений, создаваемых тонкими рассеивающими линзами

Определения и обозначения

Тонкая рассеивающая линза — линза, у которой края толще середины и после прохождения через неё параллельные лучи расходятся. Её действие связано с преломлением света на искривлённых поверхностях. Такое определение помогает сразу отличить её от собирающей линзы.

Оптический центр линзы — точка, проходя через которую световой луч в приближении тонкой линзы не меняет направления. На чертеже через эту точку проводят луч практически прямой линией. Она нужна для быстрого построения второго характерного луча.

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через оптический центр и центры кривизны поверхностей линзы. На ней отмечают линзу и главные фокусы. Ось служит основной линией для построения и отсчёта расстояний.

Главный фокус рассеивающей линзы — точка на главной оптической оси, из которой мысленно исходят лучи, вышедшие из линзы параллельным пучком. Реальные лучи после линзы через этот фокус не проходят: он является мнимым. Его положение используют при построении обратных продолжений.

Как это устроено

Параллельный пучок превращается в расходящийся потому, что лучи преломляются на искривлённых поверхностях линзы. У разных лучей меняется направление неодинаково: после выхода они удаляются друг от друга. Если продолжить их назад, продолжения пересекутся в точке ближайшего фокуса, поэтому фокус рассеивающей линзы называют мнимым.

Луч, падающий параллельно главной оптической оси, после линзы проводят расходящимся так, будто он вышел из ближайшего фокуса. Это правило заменяет сложное построение преломления на обеих поверхностях. Нужно выбрать именно ближайший фокус со стороны предмета, а затем продолжить полученный луч назад.

Луч через оптический центр считают не отклоняющимся, потому что в тонкой линзе отклонения на входной и выходной поверхностях практически компенсируются. Поэтому он идёт по одной прямой до линзы и после неё. Такой луч особенно удобен: его легко провести и использовать вместе с первым для нахождения изображения.

После линзы характерные лучи расходятся, поэтому их пересечения за линзой нет. Чтобы получить изображение, мысленно продолжают лучи назад, в сторону предмета, до их пересечения. Точка пересечения продолжений и есть мнимое изображение: свет в ней фактически не собирается.

Из построения следует, что изображение всегда прямое: верхняя точка предмета остаётся выше оси. Оно уменьшено, поскольку обратные продолжения встречаются ближе к оси, чем соответствующая точка предмета. Изображение располагается между линзой и её фокусом со стороны предмета, независимо от удаления действительного предмета.

Главные лучи для построения изображения в рассеивающей линзе

Сначала выберите предметную точку, обычно верхний конец стрелки, и проведите из неё два характерных луча. После построения лучей смотрят не на их реальные участки за линзой, а на обратные продолжения в сторону предмета.

Достаточно двух лучей, потому что их обратные продолжения однозначно задают положение изображения. Третий луч не обязателен, но помогает проверить правильность чертежа. Если продолжения не встретились в нужной области, проверьте направление фокуса и сторону, в которую вы продолжали лучи.

Разбор задач

Построение изображения двумя лучами

Условие. Предмет расположен перед рассеивающей линзой на главной оптической оси. Нужно построить его изображение лучом, параллельным оси, и лучом через оптический центр. Требуется определить положение и свойства изображения.

1. Из верхнего конца предмета проведите луч параллельно главной оптической оси до линзы. После линзы направьте его так, чтобы обратное продолжение проходило через ближайший фокус.
2. Из той же точки проведите луч через оптический центр. В приближении тонкой линзы он продолжится по прямой без отклонения.
3. Продолжите оба вышедших луча назад, в сторону предмета. Их пересечение отметьте как верхнюю точку мнимого изображения, а затем опустите из неё перпендикуляр на главную ось.

Ответ. Изображение находится между линзой и фокусом со стороны предмета. Оно мнимое, прямое и уменьшенное.

Определение свойств по чертежу

Условие. На чертеже показаны рассеивающая линза, её фокус и предмет в заданном масштабе. Нужно определить положение, размер и свойства изображения. Для этого не требуется измерять расстояния до линзы по отдельности, если уже видны построенные лучи.

1. Найдите обратное продолжение луча, параллельного оси, и проверьте, проходит ли оно через ближайший фокус. Это подтверждает, что построение выполнено для рассеивающей линзы.
2. Определите точку пересечения продолжений двух лучей. Расстояние от неё до линзы даст положение изображения, а вертикальный отрезок до оси — его высоту в масштабе рисунка.
3. Сравните высоты предмета и изображения. Если изображение ближе к оси и стрелка направлена вверх, оно уменьшенное и прямое; поскольку пересекаются продолжения, оно мнимое.

Ответ. Изображение должно оказаться между линзой и фокусом со стороны предмета. Его размер меньше размера предмета, а основные свойства — мнимое, прямое, уменьшенное.

Расчёт по формуле тонкой линзы

Условие. Фокусное расстояние рассеивающей линзы F = −15 см, расстояние до предмета a = 30 см, высота предмета H = 6 см. Найдём расстояние до изображения b и его высоту h. Используем знаковое соглашение: мнимому изображению соответствует отрицательное b.

1. Запишем формулу тонкой линзы: 1/F = 1/a + 1/b. Подставим значения: 1/(−15) = 1/30 + 1/b, откуда 1/b = −1/10 и b = −10 см.
2. Найдём линейное увеличение: Γ = −b/a = −(−10)/30 = 1/3. Положительный знак показывает, что изображение прямое, а значение меньше единицы — что оно уменьшенное.
3. Вычислим высоту изображения: h = ΓH = 1/3 · 6 см = 2 см. Отрицательное расстояние b означает, что изображение находится со стороны предмета.

Ответ. Изображение расположено на расстоянии 10 см от линзы со стороны предмета, его высота равна 2 см. Оно мнимое, прямое и уменьшенное.

Типичные ошибки

Иногда после линзы проводят параллельный оси луч, хотя он падал параллельно оси. Так поступают по аналогии с собирающей линзой, но у рассеивающей линзы луч должен расходиться. Проверьте себя: его обратное продолжение обязано проходить через ближайший фокус.

Другая ошибка — искать пересечение самих лучей за линзой. Расходящиеся лучи там не встречаются, поэтому изображение находят по их продолжениям назад. Если точка построена на стороне, противоположной предмету, направление продолжений выбрано неверно.

Изображение иногда считают перевёрнутым или увеличенным. Для действительного предмета рассеивающая линза даёт прямое и уменьшенное изображение, что видно по знаку увеличения и положению верхней точки относительно оси. Сравните высоты предмета и изображения на чертеже.

Нельзя помещать изображение за линзой или дальше фокуса. Оно всегда находится между линзой и ближайшим фокусом со стороны предмета. Проверка проста: обе обратные линии должны пересечься на предметной стороне, причём ближе к линзе, чем фокус.

Связь с другими темами

Для понимания построения нужны знания о преломлении света, ходе лучей через линзу и построении изображений в собирающей линзе. Сравнение двух типов линз помогает увидеть, почему одна собирает лучи, а другая рассеивает их.

Рассеивающие линзы используют в очках для коррекции близорукости. Они изменяют направление лучей так, чтобы оптическая система глаза получила изображение на сетчатке.

Эти знания пригодятся при изучении оптических приборов, коррекции зрения и формулы тонкой линзы. По знаку фокусного расстояния и расстояния до изображения можно определить, какой тип изображения получен.

Что запомнить

• Рассеивающая линза делает параллельный пучок расходящимся.
• Луч через оптический центр в приближении тонкой линзы не отклоняется.
• Параллельный луч после рассеивающей линзы продолжает путь так, будто вышел из ближайшего фокуса.
• Изображение строят по пересечению обратных продолжений лучей.
• Изображение мнимое, прямое и уменьшенное.
• Изображение находится между линзой и фокусом со стороны предмета.
• Свойства изображения не зависят от того, насколько далеко от линзы расположен предмет.