"Физика. Колебания и волны (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Резонанс возникает, когда частота внешнего периодического воздействия близка к частоте, при которой система особенно эффективно накапливает энергию. Амплитуда её установившихся вынужденных колебаний резко возрастает, но в реальных условиях не становится бесконечной: её ограничивают трение и другие потери. Понимание резонанса помогает объяснить работу колебательных устройств и оценить, когда колебания могут быть опасны для конструкций.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Вынужденные колебания — это колебания системы под действием внешней периодической силы, которая регулярно повторяется. В установившемся режиме частота колебаний равна частоте этой силы, а амплитуда становится постоянной, если условия воздействия не меняются. Амплитуда показывает наибольшее по модулю отклонение от положения равновесия. Это понятие помогает описать отклик системы на внешнее воздействие.
Собственная частота — частота свободных колебаний системы после того, как её кратковременно вывели из равновесия и предоставили самой себе. Она определяется свойствами системы, например массой груза и жёсткостью пружины, а не ритмом внешнего воздействия. Для обозначения часто используют ν₀ или угловую частоту ω₀. Сравнение с этой частотой позволяет понять, близка ли система к резонансу.
Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний, когда частота внешней силы приближается к резонансной частоте системы. Система в таком случае получает энергию особенно эффективно. Рост амплитуды не означает, что она обязательно станет бесконечной: в реальных условиях часть энергии теряется. Термин нужен, чтобы описывать сильный отклик системы на периодическое воздействие.
Резонансная частота — частота внешнего воздействия, при которой амплитуда установившихся вынужденных колебаний максимальна. Её обозначают, например, νрез; при слабом затухании она близка к собственной частоте ν₀. При заметных потерях эти частоты могут различаться. Поэтому в задачах важно уточнять, говорится ли о собственной или о резонансной частоте.
Вынужденная система сначала может двигаться сложно: на её отклик влияют и внешняя сила, и собственные колебания. Собственная составляющая постепенно затухает, потому что трение и сопротивление среды отнимают у системы энергию. Остаётся установившееся движение, которое поддерживает внешняя сила и которое повторяет её период. Поэтому частота установившихся вынужденных колебаний задаётся воздействием, а не собственной частотой системы.
Энергия передаётся особенно эффективно, когда внешняя сила действует в подходящий момент каждого цикла. Если её частота близка к частоте, на которой система сама стремится колебаться, повторяющиеся толчки согласуются с движением и усиливают его. При далёких частотах толчки приходятся на менее подходящие фазы, поэтому накопление энергии слабее. Отсюда следует резкий рост амплитуды вблизи резонанса.
При резонансе система получает энергию от внешней силы, но одновременно расходует её на трение, сопротивление воздуха и другие потери. Установившаяся амплитуда определяется балансом: сколько энергии поступает за цикл и сколько рассеивается. Чем больше потери, тем меньшей амплитуды достигает система. Если в идеальной модели потерь совсем нет и частоты совпадают, энергия продолжает поступать без рассеяния, поэтому амплитуда теоретически растёт неограниченно.
Зависимость амплитуды от частоты воздействия называют резонансной кривой. При удалении от резонанса отклик обычно меньше, а вблизи максимума появляется пик: воздействие в этом диапазоне особенно эффективно передаёт энергию системе. В формуле A = A₀ / √((1 − r²)² + (2βr)²) отношение r = ω/ω₀ показывает, насколько частота воздействия отличается от собственной, а β характеризует затухание. Чем больше β, тем ниже и шире пик, потому что большие потери мешают накоплению энергии.
При слабом затухании максимум амплитуды расположен близко к собственной частоте, поэтому принимают νрез ≈ ν₀. Но при ненулевом затухании точное положение максимума может немного сместиться: резонансная частота определяется не только собственными свойствами системы, но и потерями. При сильном затухании различие заметнее, а пик становится менее выраженным. Значит, равенство резонансной и собственной частот — приближение, удобное для слабого затухания.
| Свойство | Частота ниже резонансной | Частота близка к резонансной | Частота выше резонансной |
|---|---|---|---|
| Соотношение частот внешней силы и системы | Частота воздействия меньше резонансной; система успевает следовать за медленным изменением силы. | Частота воздействия близка к резонансной, а при слабом затухании — к собственной частоте. | Частота воздействия больше резонансной; сила меняется быстрее, чем система успевает заметно отклониться. |
| Амплитуда вынужденных колебаний | Обычно меньше максимальной резонансной амплитуды. | Достигает максимума или близка к нему. | После прохождения резонансного пика обычно уменьшается. |
| Передача энергии от внешней силы | Не столь эффективна, как вблизи резонанса. | Наиболее эффективна; система может быстро накапливать энергию. | Не приводит к такому же сильному накоплению энергии. |
| Разность фаз между смещением и внешней силой | Смещение близко по фазе к воздействию; отставание невелико. | Разность фаз вблизи резонанса близка к четверти периода, или π/2. | Смещение заметно отстаёт по фазе; при больших частотах разность приближается к π. |
| Влияние затухания | Ограничивает амплитуду, хотя пик здесь не достигается. | Сильно ограничивает максимум и сглаживает резонансный пик. | Ограничивает колебания; форма отклика зависит от величины потерь. |
Сначала сравните частоту воздействия с резонансной, а затем оцените амплитуду и передачу энергии. Таблица показывает общую картину для колебательной системы: точные значения зависят от её параметров и затухания. Если потери велики, максимум будет ниже и менее острым.
Задача 1. Маятник имеет собственную частоту 0,5 Гц. При какой частоте периодического воздействия следует ожидать наибольшую амплитуду его установившихся колебаний?
Наибольшую амплитуду ожидают вблизи резонанса, поэтому нужно подобрать частоту внешней силы, близкую к резонансной частоте маятника.
В условии дана собственная частота ν₀ = 0,5 Гц. Если затухание невелико, резонансная частота практически равна собственной: νрез ≈ ν₀.
Следовательно, периодическое воздействие нужно задавать с частотой около 0,5 Гц. Это соответствует периоду T = 1/ν = 2 с.
Ответ: около 0,5 Гц, или один цикл воздействия за 2 с.
Задача 2. Груз на пружине совершает свободные колебания с периодом 0,40 с. Найти частоту внешней силы, при которой возникнет резонанс, если затухание мало.
Сначала найдём собственную частоту по периоду свободных колебаний: ν₀ = 1/T. Подстановка периода даёт ν₀ = 1/0,40 с = 2,5 Гц.
Малое затухание означает, что резонансная частота лишь немного отличается от собственной. Поэтому для расчёта можно воспользоваться приближением νрез ≈ ν₀.
Частоту внешнего воздействия следует выбрать около 2,5 Гц. Соответствующий период силы также будет близок к 0,40 с.
Ответ: приблизительно 2,5 Гц.
Задача 3. Амплитуда вынужденных колебаний задана формулой A = A₀ / √((1 − r²)² + (2βr)²), где r = ω/ω₀. Как изменение коэффициента затухания β повлияет на высоту и ширину резонансного пика?
Амплитуда тем больше, чем меньше выражение под корнем в знаменателе. Вблизи резонанса r близко к единице, поэтому первый член знаменателя мал, а вклад затухания становится особенно важным.
При увеличении β величина (2βr)² возрастает. Знаменатель увеличивается, значит, максимальная амплитуда уменьшается и пик становится ниже.
Большое затухание ослабляет избирательность системы по частоте: заметный отклик сохраняется в более широком диапазоне частот. Поэтому резонансная кривая становится шире и менее острой.
Ответ: увеличение β уменьшает высоту и увеличивает ширину резонансного пика; уменьшение затухания делает пик более высоким и узким.
Считать, что резонанс возникает при совпадении любой частоты с собственной. Ошибка появляется из-за того, что в случае слабого затухания νрез ≈ ν₀, но резонанс зависит от частоты внешней силы и положения максимума амплитуды. При затухании эти частоты могут немного различаться. Проверьте себя: в условии должна быть задана или подбираться частота именно внешнего воздействия.
Утверждать, что при резонансе амплитуда всегда становится бесконечной. Так рассуждают, перенося вывод идеальной модели на реальные системы, где есть потери энергии. Трение, сопротивление среды и другие потери ограничивают амплитуду. Проверьте, сказано ли в задаче, что затухания нет; без такого условия бесконечный рост утверждать нельзя.
Путать собственные и вынужденные колебания. Собственную частоту определяют свойства системы, а частоту установившихся вынужденных колебаний задаёт внешнее воздействие. Их смешивают, потому что при резонансе частоты близки, особенно при слабом затухании. Проверьте обозначения и выясните, какое движение описывает условие задачи.
Игнорировать затухание при сравнении резонансных кривых. Тогда можно ошибочно ожидать одинаковых высоты и остроты пиков у систем с разными потерями энергии. Увеличение затухания уменьшает амплитуду и сглаживает резонансный пик. Проверьте, одинаковы ли коэффициенты затухания, прежде чем сравнивать графики.
Для понимания резонанса нужны характеристики колебаний — амплитуда, период и частота, а также представления о свободных колебаниях и энергии системы. Полезно знать, как периодическое воздействие силы меняет движение тела: именно сила передаёт энергию колебательной системе. Эти понятия дают основу для объяснения усиления колебаний.
Резонанс встречается при изучении механических и электрических колебаний, переменного тока и колебательных контуров. Он помогает объяснить работу устройств, в которых выделяют или усиливают сигналы определённой частоты. В технике резонанс также учитывают при проектировании конструкций, чтобы сильные колебания не привели к повреждениям.
Почему система при резонансе начинает колебаться с частотой внешней силы?
В установившемся режиме движение системы поддерживается внешней периодической силой, поэтому именно её ритм задаёт частоту вынужденных колебаний. Собственная частота влияет на амплитуду и фазу ответа, но не задаёт частоту установившегося движения.
Обязательно ли резонансная частота точно совпадает с собственной частотой?
Нет. При затухании максимум амплитуды может достигаться при частоте, немного отличающейся от собственной. При слабом затухании это различие мало, поэтому обычно используют приближение νрез ≈ ν₀.
Почему без затухания амплитуда при резонансе не ограничивается?
При точном резонансе внешняя сила в каждом цикле передаёт системе энергию, а потерь, которые могли бы её рассеять, нет. Поэтому в идеальной модели амплитуда продолжает расти; реальные системы всегда имеют хотя бы небольшие потери.
Как по резонансной кривой определить влияние сопротивления среды?
Сравните высоту и ширину пиков при разных условиях. Сопротивление среды сильнее рассеивает энергию: пик становится ниже и шире, то есть резонанс выражен менее резко.
Чем полезный резонанс отличается от опасного?
Само физическое явление одинаково, различается его применение и последствия. Резонанс полезен, когда нужно усилить отклик или выделить нужную частоту, а опасен, если большие колебания повреждают конструкцию.
§ 1.10. Резонанс
