§ 20. Резонанс

Определения и обозначения

Свободные колебания — колебания системы после однократного отклонения, происходящие с собственной частотой. Например, маятник после толчка некоторое время качается сам. Понятие нужно, чтобы определить, как система ведёт себя без постоянного воздействия.

Вынужденные колебания — колебания под действием периодически изменяющейся внешней силы. Такая сила снова и снова передаёт системе энергию. Это понятие помогает объяснить движение, которое поддерживается не начальным толчком, а внешним источником.

Собственная частота — частота, с которой система колеблется без постоянного внешнего воздействия. Она определяется свойствами системы: например, длиной маятника или жёсткостью пружины. Собственная частота нужна для поиска режима, в котором может возникнуть резонанс.

Резонанс — резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты внешней силы с собственной частотой системы. Амплитуда показывает наибольшее отклонение от положения равновесия. Знание резонанса позволяет использовать сильные колебания или, наоборот, предупреждать их.

Как это устроено

Периодическая внешняя сила через равные промежутки времени действует на колебательную систему и передаёт ей энергию. Если сила прекращает действовать, вынужденные колебания постепенно ослабевают из-за потерь. Пока источник работает, он компенсирует эти потери и поддерживает движение.

Амплитуда зависит от того, насколько частота внешней силы отличается от собственной частоты системы. При большой разнице сила часто действует в неподходящий момент: иногда она ускоряет движение, а иногда мешает ему. Поэтому энергия поступает небольшими порциями, и амплитуда остаётся сравнительно малой.

Когда частоты близки, действие силы становится согласованным с движением системы. Она чаще подталкивает тело в нужный момент, когда это увеличивает его скорость и энергию. В результате амплитуда вынужденных колебаний возрастает, а при совпадении частот достигает максимума — наблюдается резонанс.

Рост амплитуды не продолжается бесконечно, потому что часть энергии расходуется на преодоление трения и сопротивления воздуха или другой среды. Чем сильнее потери, тем ниже и шире резонансный максимум. В реальной системе устанавливается такая амплитуда, при которой получаемая за время энергия равна потерянной.

Резонанс полезен, если большие колебания нужны для работы устройства: например, для усиления звука. Но совпадение частот с колебаниями моста, здания или детали может вызвать чрезмерные деформации и разрушение. Поэтому инженеры заранее рассчитывают собственные частоты, меняют конструкцию и устанавливают гасители колебаний.

Сравнение свободных, вынужденных колебаний и резонанса

Таблица показывает, откуда берутся разные виды колебаний и какое условие отличает резонанс. Свободные колебания начинаются с начального отклонения, а вынужденные поддерживаются внешним источником. Резонанс является особым режимом вынужденных колебаний, поэтому для него важны сразу источник и соотношение частот.

При чтении таблицы сначала определите источник движения, а затем выясните, есть ли постоянное периодическое воздействие. Если оно есть, сравните его частоту с собственной частотой системы: близость этих величин указывает на резонансный режим.

Разбор задач

Задача 1

Маятник совершает свободные колебания с периодом 2 с. Требуется определить частоту внешней силы, при которой возможен резонанс. Резонанс наступает, когда частота внешнего воздействия равна собственной частоте маятника.

1. Собственная частота связана с периодом формулой ν₀ = 1/T.
2. Подставим T = 2 с: ν₀ = 1/2 с = 0,5 Гц.
3. Приравняем частоту внешней силы к собственной: ν = ν₀ = 0,5 Гц.

Ответ: резонанс возможен при частоте внешней силы 0,5 Гц.

Задача 2

Система имеет собственную частоту 4 Гц, а внешняя сила действует с частотой 2 Гц, затем 4 Гц и 6 Гц. Нужно выбрать режим с наибольшей амплитудой. Сравниваем каждую частоту с собственной, потому что максимум возникает при их совпадении.

1. При 2 Гц разность частот равна 2 Гц, поэтому резонанса нет.
2. При 4 Гц частоты совпадают: ν = ν₀ = 4 Гц.
3. При 6 Гц разность снова равна 2 Гц, поэтому этот режим не является резонансным.

Ответ: наибольшая амплитуда будет при частоте внешней силы 4 Гц.

Задача 3

Период вращения механизма можно изменять от 0,2 до 0,5 с. Собственная частота детали равна 3 Гц. Определим опасный период и проверим, попадает ли он в доступный диапазон.

1. Переведём частоту в период: T₀ = 1/ν₀ = 1/3 с ≈ 0,33 с.
2. Период 0,33 с находится между 0,2 и 0,5 с, значит, такой режим возможен и может вызвать резонанс.
3. Чтобы его избежать, нужно изменить период вращения так, чтобы он заметно отличался от 0,33 с, или установить гаситель колебаний.

Ответ: резонанс возникнет при периоде около 0,33 с; безопаснее изменить частоту вращения или усилить демпфирование.

Типичные ошибки

Некоторые считают резонансом любые вынужденные колебания. Ошибка появляется потому, что оба явления связаны с внешней силой, но резонанс требует ещё и совпадения частот. Проверка проста: сравните частоту источника с собственной частотой системы.

Нельзя путать собственную частоту с частотой внешней силы. Первая определяется свойствами самой системы, а вторую задаёт источник воздействия. Для проверки мысленно отключите источник: оставшаяся частота будет собственной.

Неверно утверждать, что при резонансе амплитуда бесконечно возрастает. Такое рассуждение не учитывает трение и сопротивление среды, которые отнимают энергию. Проверьте, рассматривается ли идеальная модель или реальная система с потерями.

Резонанс не является только вредным явлением. Его используют для усиления звука и настройки музыкальных инструментов, хотя в сооружениях он опасен. Чтобы проверить вывод, выясните, нужен ли устройству большой размах колебаний или его, наоборот, стремятся уменьшить.

Связь с другими темами

До изучения резонанса нужны понятия амплитуды, периода, частоты, колебательной системы и свободных колебаний. Формула ν = 1/T связывает частоту с периодом и используется в задачах.

Тема пригодится при изучении звука, музыкальных инструментов и акустики. Колебания воздуха и деталей инструмента могут усиливаться, если их частоты согласованы.

Резонанс связан с устойчивостью мостов, зданий, машин и других сооружений. Инженеры сравнивают внешние воздействия с собственными частотами конструкций, чтобы не допустить опасного усиления.

Что запомнить

• Вынужденные колебания вызываются периодической внешней силой.
• Собственная частота определяется свойствами колебательной системы.
• Резонанс возникает при совпадении или близости частоты внешней силы и собственной частоты.
• При резонансе амплитуда вынужденных колебаний резко увеличивается.
• Трение и сопротивление среды уменьшают амплитуду резонансных колебаний.
• Резонанс может использоваться в технике, но может быть опасен для сооружений и механизмов.