§ 5.12. Максимальный КПД тепловых двигателей

Определения и обозначения

Тепловой двигатель — устройство, которое получает от нагревателя количество теплоты Q₁, часть этой энергии превращает в работу A, а остаток Q₂ передаёт холодильнику. Такая схема позволяет получать механическую работу за счёт разности температур. Нагреватель и холодильник называют тепловыми резервуарами.

КПД теплового двигателя показывает, какая доля полученной теплоты превратилась в полезную работу: η = A/Q₁. С учётом энергетического баланса A = Q₁ − Q₂, поэтому η = (Q₁ − Q₂)/Q₁ = 1 − Q₂/Q₁. Чем меньше потери теплоты в холодильник при том же Q₁, тем выше КПД.

Цикл Карно — обратимый цикл идеального теплового двигателя, состоящий из двух изотерм и двух адиабат. Изотермический процесс идёт при постоянной температуре, адиабатический — без теплообмена с окружающей средой. Этот цикл нужен для определения предельного КПД двигателей, работающих между двумя температурами.

Максимальный КПД — наибольшее возможное значение КПД при заданных температурах нагревателя и холодильника: ηmax = 1 − T₂/T₁. Здесь T₁ — более высокая температура нагревателя, а T₂ — температура холодильника. Обе температуры выражают в кельвинах.

Как это устроено

За полный цикл рабочее тело сначала получает теплоту от нагревателя, затем расширяется и совершает работу, а часть энергии отдаёт холодильнику. В конце цикла давление, объём и температура рабочего тела возвращаются к начальным значениям. Поэтому изменение внутренней энергии за цикл равно нулю, и первый закон термодинамики даёт A = Q₁ − Q₂.

Полностью превратить теплоту нагревателя в работу нельзя, потому что после совершения цикла рабочее тело должно вернуться в исходное состояние. Для этого оно должно отдать часть энергии холодильнику. Если бы Q₂ было равно нулю, циклический процесс с двумя резервуарами не мог бы непрерывно повторяться.

Для обратимого цикла Карно отношение отданной и полученной теплот равно отношению абсолютных температур: Q₂/Q₁ = T₂/T₁. Подставим это соотношение в формулу КПД: η = 1 − Q₂/Q₁. Получаем ηmax = 1 − T₂/T₁, причём температуры нужно измерять в кельвинах, от абсолютного нуля.

Цикл Карно задаёт верхнюю границу КПД, потому что он обратим и не содержит потерь, связанных с трением, конечной разностью температур или неравновесным теплообменом. В реальном двигателе такие процессы неизбежны. Поэтому при тех же температурах его КПД не может быть больше ηmax и обычно заметно меньше.

Из формулы ηmax = 1 − T₂/T₁ видно, как влияют температуры резервуаров. При повышении T₁ дробь T₂/T₁ уменьшается, а КПД растёт; такой же эффект даёт понижение T₂. Если T₁ = T₂, то ηmax = 0, потому что при отсутствии разности температур двигатель не получает возможности совершать работу.

Тепловой двигатель и предел его КПД

Сначала определите, идёт ли речь о реальном двигателе или об идеальном цикле Карно. Для реального двигателя используйте энергетический баланс, а для предельного значения — температуры в кельвинах. Таблица также помогает проверить, не перепутаны ли Q₁ и Q₂.

Разбор задач

Задача 1

Идеальный двигатель Карно работает между нагревателем с температурой 600 K и холодильником с температурой 300 K. Требуется найти его КПД. Поскольку двигатель идеальный, можно сразу использовать формулу максимального КПД.

1. Записываем данные: T₁ = 600 K, T₂ = 300 K.
2. Подставляем температуры: ηmax = 1 − 300/600 = 1 − 0,5 = 0,5.
3. Переводим долю в проценты: 0,5 · 100% = 50%.

Ответ: ηmax = 50%. Половина теплоты, полученной от нагревателя, в идеальном случае превращается в работу.

Задача 2

Двигатель работает между нагревателем с температурой 500 K и холодильником с температурой 300 K и получает за цикл Q₁ = 2,0 кДж. Нужно найти максимальную работу и теплоту Q₂, переданную холодильнику. Сначала определим предельный КПД, а затем применим его к полученной теплоте.

1. ηmax = 1 − 300/500 = 0,4.
2. Максимальная работа равна Amax = ηmaxQ₁ = 0,4 · 2,0 кДж = 0,8 кДж.
3. Теплота холодильнику Q₂ = Q₁ − Amax = 2,0 − 0,8 = 1,2 кДж.

Ответ: Amax = 0,8 кДж, Q₂ = 1,2 кДж. Эти значения относятся к идеальному предельному случаю.

Задача 3

Двигатель с КПД 30% работает с холодильником при температуре 300 K. Найдём минимальную температуру нагревателя, при которой такой КПД возможен. Реальный КПД не должен превышать предел Карно.

1. Записываем условие: 0,30 ≤ 1 − 300/T₁.
2. Переносим слагаемые: 300/T₁ ≤ 0,70, поэтому T₁ ≥ 300/0,70 ≈ 428,6 K.
3. Округляем с разумной точностью: T₁min ≈ 429 K.

Ответ: температура нагревателя должна быть не ниже примерно 429 K. Равенство соответствует идеальному обратимому двигателю, а для реального двигателя обычно потребуется ещё более высокая температура.

Типичные ошибки

Подстановка температуры в градусах Цельсия приводит к неверному отношению T₂/T₁. Так делают, потому что в быту температура чаще указывается именно в этой шкале. Перед расчётом прибавьте 273 к числу градусов Цельсия и используйте кельвины.

Нельзя считать, что КПД любого двигателя равен КПД Карно. Формула Карно задаёт только верхнюю границу для заданных температур, а реальные потери уменьшают результат. Проверьте условие: если двигатель не назван идеальным или обратимым, должно выполняться η < ηmax.

Ошибка возникает, если забыть теплоту Q₂ и записать A = Q₁. При циклической работе часть энергии обязательно передаётся холодильнику, поэтому A = Q₁ − Q₂. Самопроверка проста: работа не может быть больше полученной теплоты.

Иногда путают температуры и записывают 1 − T₁/T₂. Нагреватель всегда горячее холодильника, поэтому T₁ > T₂, а КПД должен быть положительным. В формуле также используется Q₂/Q₁, а не обратное отношение.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны первый закон термодинамики, понятия работы и количества теплоты. Они объясняют энергетический баланс двигателя и формулу A = Q₁ − Q₂. Также нужно знать, как устроена система из нагревателя, рабочего тела и холодильника.

Формула Карно требует знания абсолютной температуры. Поэтому важно уметь переходить от градусов Цельсия к кельвинам: T = t + 273,15. Нельзя использовать относительную шкалу Цельсия в отношении температур.

Предельный КПД связан со вторым законом термодинамики, который объясняет направление тепловых процессов. Эти знания применяются при изучении холодильных машин и оценке эффективности электростанций, двигателей и других энергетических установок.

Что запомнить

• За полный цикл изменение внутренней энергии рабочего тела равно нулю.
• Работа двигателя за цикл равна A = Q₁ − Q₂.
• КПД двигателя равен η = A/Q₁ = 1 − Q₂/Q₁.
• Максимальный КПД между двумя резервуарами задаётся формулой ηmax = 1 − T₂/T₁.
• В формулу предельного КПД температуры подставляют в кельвинах.
• КПД реального двигателя не может превышать КПД Карно при тех же температурах.
• Для увеличения предельного КПД нужно повышать температуру нагревателя или понижать температуру холодильника.