"Физика. Молекулярная физика. Термодинамика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Задачи по термодинамике учат прослеживать, куда передаётся энергия и как меняется состояние тел или газа. Для теплообмена составляют уравнение теплового баланса, а для газа применяют уравнение состояния и первый закон термодинамики. Решение начинается с выбора системы и записи известных величин, а заканчивается проверкой единиц, знаков и физического смысла результата. Эти приёмы помогают разобраться и в простых, и в комбинированных задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Уравнение теплового баланса — равенство количества теплоты, отданного одними телами, и количества теплоты, полученного другими, если потерь энергии нет. Его можно записать как ΣQ = 0: отданную теплоту считают отрицательной, полученную — положительной. Такая запись позволяет найти конечную температуру или неизвестную массу, не угадывая заранее, как распределится энергия.
Первый закон термодинамики связывает количество теплоты Q, изменение внутренней энергии газа ΔU и работу A, которую совершает газ: Q = ΔU + A. Внутренняя энергия характеризует энергию частиц, а работа описывает передачу энергии при изменении объёма. Закон нужен, чтобы определить, на что пошла полученная газом теплота.
Работа газа — энергия, переданная газом при расширении или полученная им при сжатии. Если газ расширяется, A положительна; если объём уменьшается, A отрицательна. При постоянном давлении работу вычисляют как A = pΔV. Знак помогает верно составить энергетический баланс.
Коэффициент полезного действия теплового двигателя — отношение полезной работы к теплоте Q₁, полученной от нагревателя: η = A/Q₁. Поскольку часть теплоты передаётся холодильнику, полезная работа меньше Q₁. КПД показывает, какая доля подведённой энергии превращается в работу.
Сначала по условию определяют систему: это может быть смесь тел, отдельный газ или тепловой двигатель. Затем отмечают начальное и конечное состояния, выписывают известные величины и то, что требуется найти. Такой шаг отделяет нужные взаимодействия от лишних деталей условия и показывает, какие тела обмениваются энергией.
Выбор закона зависит от процесса, потому что разные формулы описывают разные способы передачи энергии. Если тела только обмениваются теплотой, удобно приравнять отданное количество теплоты полученному — это уравнение теплового баланса. Если меняется состояние газа, теплота может одновременно изменить его внутреннюю энергию и пойти на работу, поэтому нужен первый закон термодинамики.
Связь давления, объёма и температуры идеального газа задаёт уравнение pV = nRT. Оно помогает найти недостающий параметр состояния или изменение объёма: например, при постоянном давлении V/T остаётся постоянным. В расчётах T берут в кельвинах, потому что уравнение описывает абсолютную температуру, отсчитываемую от абсолютного нуля.
В энергетическом балансе знаки величин показывают направление передачи энергии. При записи Q = ΔU + A положительное Q означает, что теплота подведена к газу, а положительное A — что газ совершил работу. Если газ сжимают, A отрицательна: внешние силы передают энергию газу. Последовательное применение одного соглашения не даёт перепутать нагрев с охлаждением или расширение со сжатием.
После вычислений результат проверяют несколькими способами. Работа, теплота и изменение энергии измеряются в джоулях, а КПД — безразмерная величина; несовпадение единиц указывает на ошибку в формуле или переводе. Затем оценивают знак и смысл: например, при нагревании тела без фазового перехода его конечная температура должна быть выше начальной. Проверка часто выявляет ошибку, которую не видно в алгебре.
| Тип задачи | Какие величины анализируются | Основное уравнение | Что требуется найти или проверить |
|---|---|---|---|
| Нагревание или охлаждение тела без фазового перехода | Масса, удельная теплоёмкость, изменение температуры | Q = cmΔT | Количество теплоты |
| Теплообмен нескольких тел | Количество теплоты, отданное и полученное телами | Уравнение теплового баланса | Конечную температуру или неизвестную массу |
| Изменение состояния газа | Давление, объём, температура, внутренняя энергия и работа | Уравнение состояния и первый закон термодинамики | Q, A или ΔU |
| Тепловой двигатель | Q₁, Q₂ и полезная работа | A = Q₁ − Q₂, η = A/Q₁ | Работу или КПД двигателя |
Сначала найдите в таблице тип процесса, который описан в условии, и выберите соответствующее уравнение. Если задача комбинированная, используйте несколько строк последовательно: например, сначала уравнение состояния, затем первый закон. Всегда проверяйте, какие знаки приняты для теплоты и работы.
В калориметр с водой опускают нагретое тело; известны массы, удельные теплоёмкости и начальные температуры. Потерь теплоты нет, а установившуюся температуру обозначим T. Калориметр тоже может нагреваться или охлаждаться, поэтому его теплоёмкость нужно учесть, если она дана. Требуется найти общее конечное значение температуры системы.
Определяем, кто отдаёт и кто получает теплоту. Если тело горячее воды, оно остывает, а вода и калориметр нагреваются.
Для каждого участника записываем Q = cm(T − T₀), где T₀ — его начальная температура. Для горячего тела разность отрицательна, что автоматически учитывает отдачу энергии.
Составляем баланс: cтmт(T − Tт) + cвmв(T − Tв) + Cк(T − Tк) = 0. Здесь Cк — теплоёмкость калориметра; если его влиянием пренебрегают, последнее слагаемое опускают.
Собираем слагаемые с T и выражаем конечную температуру. Проверяем, что она лежит между начальной температурой самого горячего и самого холодного участника.
Ответ: T = (cтmтTт + cвmвTв + CкTк)/(cтmт + cвmв + Cк). Если калориметр в условии не учитывается, удаляют слагаемое с Cк.
Количество вещества одноатомного идеального газа равно n, давление постоянно, температура меняется от T₁ до T₂. Требуется найти работу газа, изменение внутренней энергии и подведённое количество теплоты. Поскольку процесс изобарный, объём меняется вместе с температурой. Температуры в расчётах берут в кельвинах.
Из pV = nRT при неизменных p и n следует pΔV = nR(T₂ − T₁). Работа газа равна A = pΔV, поэтому A = nRΔT, где ΔT = T₂ − T₁.
Для одноатомного идеального газа внутренняя энергия U = 3nRT/2, значит, ΔU = 3nRΔT/2. Давление в конечные выражения не входит: оно сокращается при использовании уравнения состояния.
Подставляем найденные величины в первый закон: Q = ΔU + A. Получаем Q = 5nRΔT/2.
Если T₂ выше T₁, то ΔT положительна, а значит, положительны работа, изменение внутренней энергии и подведённая теплота. При охлаждении знаки этих изменений будут отрицательными.
Ответ: A = nRΔT, ΔU = 3nRΔT/2, Q = 5nRΔT/2.
За цикл двигатель получает от нагревателя теплоту Q₁ и передаёт холодильнику теплоту Q₂. Нужно найти полезную работу и КПД, а затем проверить, не превышает ли КПД максимально возможное значение. Поскольку цикл завершает возвращением к исходному состоянию, внутренняя энергия газа за цикл не меняется. Для сравнения также потребуется температура нагревателя T₁ и холодильника T₂, если она известна.
Записываем энергетический баланс цикла: Q₁ = A + Q₂. Отсюда полезная работа A = Q₁ − Q₂; переданную холодильнику теплоту рассматриваем как часть энергии, не превращённую в работу.
Находим КПД: η = A/Q₁ = (Q₁ − Q₂)/Q₁. Если ответ нужен в процентах, результат умножаем на 100%.
При известных абсолютных температурах источников сравниваем результат с КПД идеального двигателя Карно: ηмакс = 1 − T₂/T₁. Температуры выражаем в кельвинах, причём нагреватель должен быть горячее холодильника.
Проверяем, что 0 ≤ η < 1 и что КПД реального двигателя не больше ηмакс. Если это не так, вероятны ошибка в знаках, подстановка температур по шкале Цельсия или неверно составленный баланс.
Ответ: A = Q₁ − Q₂, η = (Q₁ − Q₂)/Q₁; максимально возможный КПД при заданных температурах равен 1 − T₂/T₁.
В уравнение состояния или формулу внутренней энергии иногда подставляют температуру в градусах Цельсия. Это происходит из-за привычки пользоваться бытовой шкалой, но термодинамические формулы требуют абсолютной температуры. Перед расчётом проверьте, что температура переведена по правилу T = t + 273,15; при разности температур такой перевод сокращается.
Работу газа могут записать положительной при сжатии или отрицательной при расширении. Причина — забытое соглашение о знаках или механическое применение формулы без оценки изменения объёма. Сверьте знак с ΔV: если A — работа газа, то A положительна при расширении и отрицательна при сжатии.
При теплообмене иногда просто приравнивают модули количеств теплоты, не отмечая, какое тело отдаёт энергию. Так можно потерять знак, особенно если тел несколько. Запишите сумму всех Q равной нулю и определите направление изменения температуры каждого тела; тогда отданная теплота будет отрицательной, полученная — положительной.
КПД ошибочно находят как отношение работы к «полной энергии», не указывая, что знаменатель — теплота от нагревателя Q₁. Такое упрощение затрудняет проверку энергетического баланса и может привести к неверному ответу. Для двигателя используйте η = A/Q₁ и убедитесь, что 0 ≤ η < 1.
Для задач этого типа понадобятся уравнение состояния идеального газа, формулы его внутренней энергии и работы, а также навыки перевода величин в СИ. Эти знания связывают параметры газа с описанием происходящих процессов. Законы сохранения энергии лежат в основе и теплового баланса, и первого закона термодинамики: они показывают, что энергия не исчезает, а передаётся или преобразуется. Освоенные методы пригодятся при изучении адиабатных процессов, циклов и тепловых машин, а также в комбинированных задачах, где нужно применить несколько законов подряд.
Как понять, какое уравнение нужно использовать в задаче?
Посмотрите, что происходит в условии. Если тела обмениваются теплотой, используйте уравнение теплового баланса; если меняется состояние газа, понадобятся уравнение состояния и первый закон термодинамики. Для двигателя составьте энергетический баланс и найдите КПД.
Почему температуру в термодинамических формулах измеряют в кельвинах?
Температура в уравнении состояния и формулах внутренней энергии — абсолютная: её отсчёт начинается от абсолютного нуля. Переводите градусы Цельсия в кельвины по формуле T = t + 273,15. При вычислении разности температур приращение в кельвинах численно равно приращению в градусах Цельсия.
Как определить знак работы газа?
При соглашении, где A — работа, совершённая газом, расширению соответствует A > 0, а сжатию — A < 0. Это следует из того, что при расширении газ передаёт энергию окружающим телам, а при сжатии работа совершается над газом. В изохорном процессе объём не меняется, поэтому работа равна нулю.
Когда нужно применять уравнение теплового баланса, а когда первый закон термодинамики?
Уравнение теплового баланса удобно для системы тел, которые обмениваются теплотой без потерь: суммарное количество теплоты равно нулю. Первый закон применяют к изменению состояния газа, учитывая и теплоту, и работу. Для газа при выбранном здесь соглашении он записывается как Q = ΔU + A.
Почему КПД теплового двигателя не может быть равен 100 процентам?
Двигатель передаёт часть полученной теплоты холодильнику, поэтому полезная работа меньше теплоты, взятой от нагревателя. Согласно второму закону термодинамики, циклический двигатель не может полностью превращать теплоту, полученную от нагревателя, в работу. Поэтому его КПД меньше единицы.
§ 5.13. Примеры решения задач
