§ 5.11. Тепловые двигатели

Определения и обозначения

Тепловой двигатель — устройство, которое циклически превращает часть полученной от нагревателя теплоты в механическую работу. Он нужен для приведения в движение машин, автомобилей и турбин. Цикличность позволяет многократно повторять процесс.

Рабочее тело — газ или пар, который получает теплоту, расширяется и совершает работу, а затем возвращается в исходное состояние. Именно рабочее тело переносит энергию от нагревателя к механизму. Его состояние описывают температурой, давлением и объёмом.

Коэффициент полезного действия теплового двигателя — отношение работы за цикл к теплоте, полученной от нагревателя: η = A/Q₁. Эта величина показывает, какая доля подведённой энергии стала полезной работой. КПД не может быть больше единицы, или 100%.

Идеальный тепловой двигатель Карно — обратимый двигатель, работающий между нагревателем и холодильником. Его КПД зависит только от абсолютных температур этих тел: η = (T₁ − T₂)/T₁. Модель Карно задаёт наибольший возможный КПД для данных температур.

Как это устроено

Для непрерывной работы рабочее тело должно совершать циклы и в конце каждого цикла возвращаться в исходное состояние. Иначе после нескольких повторений изменились бы его давление, объём или температура, и следующий цикл проходил бы иначе. Возврат к исходному состоянию делает работу двигателя повторяемой.

Сначала рабочее тело получает от нагревателя количество теплоты Q₁. Газ нагревается и расширяется, поэтому его давление действует на поршень и перемещает его, то есть совершается механическая работа. Чтобы эта последовательность могла повторяться, затем нужно изменить состояние газа и вернуть его к начальным параметрам.

Всю полученную теплоту рабочее тело превратить в работу не может. Часть энергии требуется передать холодильнику, иначе невозможно завершить цикл с возвращением к исходному состоянию. Кроме того, второе начало термодинамики запрещает полное превращение теплоты одного источника в работу в циклическом процессе.

За один цикл двигатель получает энергию Q₁ и отдаёт холодильнику энергию Q₂. По закону сохранения энергии разность этих количеств остаётся в виде совершённой работы: A = Q₁ − Q₂. Подставив эту работу в определение КПД, получаем η = A/Q₁ = (Q₁ − Q₂)/Q₁.

Для обратимого двигателя Карно КПД равен η = (T₁ − T₂)/T₁. Он является верхней границей, потому что необратимые процессы, трение и потери не могут повысить долю превращённой в работу энергии. В формулу подставляют температуры в кельвинах, поскольку шкала Кельвина начинается с абсолютного нуля и сохраняет правильное отношение температур.

Энергетический баланс теплового двигателя за цикл

Сначала определите, к какой величине относится данное в условии количество энергии: Q₁, Q₂ или A. Затем выберите строку с нужной формулой и проверьте, что все величины относятся к одному циклу. Для КПД Карно используйте температуры в кельвинах.

Разбор задач

Задача 1

За цикл двигатель получает Q₁ = 600 Дж и отдаёт холодильнику Q₂ = 400 Дж. Требуется найти работу A и КПД η. Используем энергетический баланс, а затем определение КПД.

1. Находим работу: A = Q₁ − Q₂ = 600 − 400 = 200 Дж.
2. Находим КПД: η = A/Q₁ = 200/600 = 1/3 ≈ 0,33.
3. В процентах это η ≈ 33%.

Ответ: A = 200 Дж, η ≈ 0,33, или примерно 33%. Работа меньше полученной теплоты, потому что 400 Дж передано холодильнику.

Задача 2

КПД двигателя равен η = 25%, а работа за цикл составляет A = 500 Дж. Нужно найти Q₁ и Q₂. Сначала выразим полученную теплоту из формулы η = A/Q₁, затем применим баланс.

1. Переводим КПД в дробь: η = 0,25.
2. Находим Q₁: Q₁ = A/η = 500/0,25 = 2000 Дж.
3. Находим Q₂: Q₂ = Q₁ − A = 2000 − 500 = 1500 Дж.

Ответ: двигатель получает Q₁ = 2000 Дж и отдаёт холодильнику Q₂ = 1500 Дж. Проверка: 500/2000 = 0,25, значит результат согласуется с условием.

Задача 3

Нагреватель имеет температуру T₁ = 500 К, холодильник — T₂ = 300 К. Найдём максимальный КПД и сравним его с КПД реального двигателя η = 30%. Поскольку температуры уже заданы в кельвинах, дополнительный перевод не нужен.

1. Подставляем температуры в формулу Карно: ηₘₐₓ = (500 − 300)/500.
2. Вычисляем: ηₘₐₓ = 200/500 = 0,4 = 40%.
3. Сравниваем: 30% меньше 40%, поэтому КПД реального двигателя допустим.

Ответ: максимальный КПД равен 40%, а реальный двигатель уступает ему на 10 процентных пунктов. Это нормально: реальные процессы сопровождаются потерями и необратимостью.

Типичные ошибки

Вся теплота превращается в работу. Так считают, забывая о передаче энергии холодильнику. Проверьте себя по балансу: если Q₂ не равно нулю, то A меньше Q₁.

Путают Q₁ и Q₂. Индекс 1 связывает теплоту с нагревателем, а индекс 2 — с холодильником. Перед вычислениями подпишите направление передачи энергии и убедитесь, что A = Q₁ − Q₂.

КПД считают как A/Q₂. КПД сравнивает полезную работу с энергией, затраченной двигателем, поэтому знаменателем служит Q₁. Быстрая проверка: при таком определении η не должен превышать 1.

В формулу Карно подставляют градусы Цельсия. Отношение температур корректно только для абсолютной шкалы, поэтому нужны кельвины. Перевод выполняют так: T = t + 273,15, после чего используют ηₘₐₓ = (T₁ − T₂)/T₁.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны закон сохранения энергии, понятия количества теплоты и внутренней энергии. Также важно уметь находить работу газа при расширении, поскольку именно расширение рабочего тела приводит в движение механизм. Эти знания образуют основу энергетического баланса цикла.

Тема связана со вторым началом термодинамики. Оно объясняет, почему невозможно полностью превратить теплоту, полученную от одного источника, в работу и зачем двигателю нужен холодильник. Из этого же следуют ограничения на КПД.

КПД и энергетический баланс используют при изучении холодильных установок, тепловых насосов и энергетики. В этих устройствах энергия также передаётся между телами, но полезный эффект может состоять не в работе двигателя, а в переносе теплоты. Общие формулы помогают сравнивать эффективность разных систем.

Что запомнить

• Тепловой двигатель работает циклически.
• За цикл рабочее тело получает теплоту Q₁ и отдаёт холодильнику теплоту Q₂.
• Работа двигателя за цикл равна A = Q₁ − Q₂.
• КПД теплового двигателя равен η = A/Q₁.
• КПД любого реального двигателя меньше 100%.
• КПД двигателя Карно зависит от температур нагревателя и холодильника и является максимально возможным между ними.
• В формулах с температурами абсолютную температуру выражают в кельвинах.