Упражнение 6

Определения и обозначения

Идеальный газ — модель, в которой размерами молекул и их взаимодействием вне столкновений пренебрегают. Это упрощение позволяет описывать состояние газа через давление, объём и температуру. Модель подходит, когда молекулы расположены сравнительно далеко друг от друга и их собственный объём несущественен.

Внутренняя энергия — сумма кинетической энергии хаотического движения частиц и потенциальной энергии их взаимодействия. Для идеального газа взаимодействие учитывают только во время столкновений, поэтому его внутренняя энергия определяется температурой. Это позволяет найти изменение энергии по изменению температуры, не отслеживая движение каждой молекулы.

Количество теплоты — энергия, переданная телу при теплообмене; его обозначают Q. Если газ получает теплоту, Q положительно, а если отдаёт — отрицательно. Эта величина описывает передачу энергии, а не запас энергии внутри газа, поэтому её нельзя отождествлять с внутренней энергией.

Первый закон термодинамики связывает теплоту, изменение внутренней энергии и работу газа: Q = ΔU + A. Здесь ΔU — разность внутренней энергии в конечном и начальном состояниях, а A — работа, совершённая самим газом. Закон нужен, чтобы проследить, куда расходуется переданная газу энергия.

Как это устроено

Сначала выдели термодинамическую систему: обычно это газ в сосуде или цилиндре, границы которого указаны в задаче. Запиши известные величины и обозначь начальное и конечное состояния индексами 1 и 2. Затем выясни, что остаётся постоянным: объём, давление или температура, либо процесс состоит из нескольких этапов; это определяет подходящие формулы.

В идеальном газе потенциальной энергией взаимодействия молекул пренебрегают, а средняя кинетическая энергия их движения связана с температурой. Поэтому при переходе между состояниями изменение внутренней энергии можно вычислить как ΔU = nCv(T₂ − T₁), где n — количество вещества, а Cv — молярная теплоёмкость при постоянном объёме. Внутренняя энергия не зависит напрямую от того, каким путём газ пришёл к конечному состоянию. Для одноатомного газа Cv = 3R/2, но для других газов теплоёмкость может быть иной.

Знак работы задаёт направление изменения объёма: при расширении газ действует на поршень и совершает положительную работу, а при сжатии работа газа отрицательна. Теплота положительна, если поступает в газ, и отрицательна, если уходит из него. Изменение внутренней энергии положительно при нагревании и отрицательно при охлаждении; такой выбор знаков согласуется с записью Q = ΔU + A.

Уравнение состояния идеального газа pV = nRT связывает давление, объём и абсолютную температуру, поэтому оно помогает найти неизвестный параметр процесса. Например, при постоянном давлении из него следует pΔV = nRΔT, а значит, работа газа A = pΔV = nRΔT. После этого первый закон позволяет определить теплоту: Q = ΔU + A. Важно использовать одно и то же количество вещества и абсолютные температуры для обоих состояний.

Проверь единицы: работа, теплота и изменение внутренней энергии измеряются в джоулях. Затем оцени знак: при расширении работа должна быть положительной, а при нагревании идеального газа ΔU должна быть положительной. Наконец, сопоставь ответ с условием процесса: например, в изохорном процессе не может быть работы изменения объёма, а в изотермическом не меняется внутренняя энергия идеального газа.

Связь параметров газа и энергетических величин в основных процессах

В таблице ΔT = T₂ − T₁, а γ — показатель адиабаты; формула для адиабаты относится к идеальному газу при обратимом процессе. Для процесса с меняющимся давлением работу находят по графику p(V) или суммируют работы участков. Выбери строку по условию задачи, а затем проверь, что найденные величины согласуются с первым законом.

Разбор задач

Нагревание газа при постоянном объёме

Найти количество теплоты для нагревания идеального газа постоянного объёма от T₁ до T₂. Количество вещества газа равно n, его молярная теплоёмкость при постоянном объёме — Cv. Численных данных нет, поэтому ответ выразим через эти величины.

1. Поскольку объём не меняется, ΔV = 0, а работа газа A = 0.
2. Изменение температуры равно ΔT = T₂ − T₁, поэтому ΔU = nCv(T₂ − T₁).
3. По первому закону Q = ΔU + A, следовательно, Q = nCv(T₂ − T₁).

Если T₂ больше T₁, теплота положительна: энергия поступает в газ и увеличивает его внутреннюю энергию. Ответ: Q = nCv(T₂ − T₁); для массы m можно подставить n = m/M, где M — молярная масса газа.

Нагревание газа при постоянном давлении

Газ в цилиндре с подвижным поршнем нагревают при постоянном давлении. Даны количество вещества n, температуры T₁ и T₂ и давление p; требуется найти работу газа и количество теплоты. Сначала нужно определить изменение объёма, потому что именно оно задаёт работу при постоянном давлении.

1. Из уравнения pV = nRT получаем V₁ = nRT₁/p и V₂ = nRT₂/p, поэтому ΔV = nR(T₂ − T₁)/p.
2. Работа газа равна A = pΔV = nR(T₂ − T₁). При нагревании объём увеличивается, и работа положительна.
3. Изменение внутренней энергии равно ΔU = nCv(T₂ − T₁). Подставляем работу в первый закон: Q = n(Cv + R)(T₂ − T₁) = nCp(T₂ − T₁), где Cp = Cv + R.

Ответ: A = nR(T₂ − T₁), Q = nCp(T₂ − T₁). Если задана масса, вместо n используют m/M; давление при таком расчёте сокращается, поскольку оно определяет изменение объёма, нужное для работы.

Газ совершает замкнутый цикл

Идеальный газ проходит цикл, заданный pV-диаграммой; нужно найти работу за цикл, полученное тепло и КПД тепловой машины. Численные координаты точек не приведены, поэтому решение покажет способ вычисления по заданному графику. Обход цикла по часовой стрелке соответствует положительной суммарной работе газа.

1. Разбей цикл на участки, для каждого определи процесс и вычисли работу: при постоянном давлении A = pΔV, при постоянном объёме A = 0. Сложи работы с учётом знака.
2. Суммарная работа за цикл равна площади, ограниченной линией цикла на pV-диаграмме: Aц = ΣAᵢ. Так как газ возвращается в исходное состояние, ΔUц = 0 и по первому закону Qц = Aц.
3. Чтобы найти КПД, сложи только положительные количества теплоты на участках, где газ получает тепло: Qпол = ΣQᵢ при Qᵢ > 0. Тогда η = Aц/Qпол, или η = (Qпол − Qотд)/Qпол, где Qотд — модуль отданной теплоты.

Ответ в общем виде: Aц — площадь цикла, Qпол находят суммированием теплоты на участках нагревания, η = Aц/Qпол. Работа и теплота за отдельные участки могут иметь разные знаки, поэтому их нельзя складывать только по модулю. Для численного результата нужны значения координат точек диаграммы и характеристики газа.

Типичные ошибки

Путают работу газа с работой внешних сил. Это происходит, когда не оговаривают, чья работа обозначена в формуле: здесь A — работа самого газа. При расширении она положительна, при сжатии отрицательна; проверка по изменению объёма помогает установить знак.

Применяют формулу одноатомного газа к многоатомному. Формула ΔU = 3nRΔT/2 верна для одноатомного идеального газа, а у других газов число степеней свободы может быть больше. Уточни вид газа или используй заданную теплоёмкость Cv; затем проверь, что применённая формула соответствует модели в условии.

Считают, что при постоянной температуре меняется внутренняя энергия идеального газа. Такое заключение часто переносят с реальных веществ, не учитывая модель идеального газа. Для него ΔU = 0 при ΔT = 0; проверь, что речь действительно об идеальном газе и температура не меняется.

Подставляют градусы Цельсия в уравнение состояния. Шкала Цельсия имеет произвольный ноль, а уравнение pV = nRT использует температуру от абсолютного нуля. Перед вычислением переведи t в T = t + 273,15 и убедись, что температура выражена в кельвинах.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны уравнение Менделеева—Клапейрона, газовые законы, формулы внутренней энергии и понятие работы газа. Тот же энергетический баланс применяется при изучении тепловых машин, холодильных установок и их КПД: он показывает, сколько энергии превращается в работу и сколько отводится. Связь с механикой видна на pV-диаграмме: работа газа равна площади под графиком процесса, как работа силы связана с графическим изображением зависимости силы от перемещения.

Что запомнить

• Для идеального газа внутренняя энергия определяется только температурой.
• Первый закон термодинамики: Q = ΔU + A.
• При постоянном объёме работа газа равна нулю.
• При изотермическом процессе внутренняя энергия идеального газа не изменяется.
• Работа газа на pV-диаграмме равна площади под графиком процесса.
• В расчётах температуры необходимо выражать в кельвинах.
• Для цикла изменение внутренней энергии газа за полный цикл равно нулю.