§ 7.8. Примеры решения задач

Определения и обозначения

Уравнение теплового баланса — равенство количества теплоты, отданного одними телами, и полученного другими в теплоизолированной системе. Оно позволяет связать нагревание и охлаждение тел, если энергия не уходит во внешнюю среду. В задачах используют запись ΣQ = 0 или равенство отданной и полученной теплоты.

Первый закон термодинамики — связь между количеством теплоты Q, изменением внутренней энергии ΔU и работой газа A: Q = ΔU + A. Он выражает закон сохранения энергии для тепловых процессов. С его помощью находят неизвестную величину, если известны две другие.

Работа газа — энергия, переданная газом при расширении или сжатии; при постоянном давлении A = p(V₂ − V₁). На p–V-диаграмме работа определяется площадью под графиком процесса. При расширении она положительна, а при сжатии отрицательна.

Коэффициент полезного действия теплового двигателя — отношение полезной работы двигателя к количеству теплоты, полученному от нагревателя: η = Aпол / Qн. Для цикла Aпол = Qн − Qх, поэтому η = (Qн − Qх) / Qн. Эта величина показывает, какая часть энергии нагревателя превращается в полезную работу.

Как это устроено

Решение термодинамической задачи начинают с выделения системы, записи известных величин и перевода данных в единицы СИ. Это нужно потому, что формулы связывают паскали, кубические метры, джоули и кельвины в согласованной системе. Затем становится ясно, какие тела или части установки участвуют в обмене энергией.

Вид процесса устанавливают по условию задачи: постоянство давления, объёма, температуры или отсутствие теплообмена определяет используемые формулы. Например, фраза «жёсткий сосуд» обычно означает неизменный объём, а «газ медленно расширяется при постоянном давлении» задаёт изобарный процесс. Нельзя выбирать формулу только по известным числам, не проверив это условие.

Связь между теплотой, работой и изменением внутренней энергии выбирают из первого закона термодинамики с учётом принятого знака работы. В записи Q = ΔU + A положительная работа означает, что энергию передаёт сам газ. Поэтому при расширении полученная теплота расходуется и на нагревание газа, и на работу против внешнего давления.

Для нахождения неизвестных параметров последовательно используют уравнение состояния идеального газа pV = νRT и уравнения соответствующего процесса. При постоянном давлении из этого уравнения следует V/T = const, а при постоянном объёме p/T = const. Если температура постоянна, произведение pV не меняется.

Полученный результат проверяют по размерности, знаку работы и физическому смыслу изменения температуры, давления и объёма. Например, расширение при положительном давлении не может дать отрицательную работу, а нагревание идеального газа должно увеличивать его внутреннюю энергию. Такая проверка помогает обнаружить ошибку даже при правильной записи формул.

Связь вида процесса с основными расчётными величинами

Сначала найдите в условии постоянную величину и выберите строку таблицы. Затем используйте формулы этой строки вместе с первым законом термодинамики. Для идеального газа изменение внутренней энергии определяется только изменением температуры.

Разбор задач

Задача 1. Одноатомный идеальный газ количеством 1 моль нагревают при постоянном объёме от 300 до 600 К. Нужно найти ΔU и Q. Поскольку объём не меняется, процесс изохорный и работа газа равна нулю.

1. Изменение температуры: ΔT = 600 − 300 = 300 К.
2. Для одноатомного газа Cᵥ = 3R/2, поэтому ΔU = νCᵥΔT = 1 · 3R/2 · 300 ≈ 3,74·10³ Дж.
3. По первому закону Q = ΔU + A, а A = 0, следовательно, Q ≈ 3,74·10³ Дж.

Ответ: ΔU ≈ 3,74 кДж; Q ≈ 3,74 кДж.

Задача 2. Газ расширяется при постоянном давлении 2·10⁵ Па от 2 до 5 л, температура возрастает от 300 до 750 К. Требуется найти работу, изменение внутренней энергии и теплоту для одноатомного газа. Объёмы сначала переводим в СИ: 2 л = 2·10⁻³ м³, 5 л = 5·10⁻³ м³.

1. Работа при постоянном давлении: A = p(V₂ − V₁) = 2·10⁵ · 3·10⁻³ = 600 Дж.
2. Количество вещества найдём из pV₁ = νRT₁: ν = pV₁/(RT₁) ≈ 0,16 моль.
3. Тогда ΔU = ν · 3R/2 · (750 − 300) ≈ 900 Дж.
4. По первому закону Q = ΔU + A ≈ 1500 Дж.

Ответ: A = 600 Дж, ΔU ≈ 900 Дж, Q ≈ 1,5 кДж. Положительная работа согласуется с расширением газа.

Задача 3. Двигатель получает от нагревателя 800 Дж и передаёт холодильнику 500 Дж. Нужно определить работу и КПД. В цикле внутренняя энергия возвращается к исходному значению, поэтому работа равна разности полученной и отданной теплоты.

1. A = Qн − Qх = 800 − 500 = 300 Дж.
2. η = A/Qн = 300/800 = 0,375.
3. В процентах η = 37,5%. Если отдаваемая холодильнику теплота уменьшится при прежнем Qн, разность Qн − Qх увеличится, а КПД возрастёт.

Ответ: работа двигателя 300 Дж, КПД 37,5%; при уменьшении Qх КПД увеличится.

Типичные ошибки

Подстановка температуры в градусах Цельсия вместо абсолютной температуры в кельвинах искажает уравнение состояния. Так происходит, потому что шкала Цельсия не начинается с абсолютного нуля. Проверка: перед расчётом переведите температуру по формуле T = t + 273.

Неправильный знак работы при сжатии или расширении возникает из-за игнорирования направления изменения объёма. При расширении V₂ − V₁ положительно, при сжатии — отрицательно. Проверяйте знак прямо по разности конечного и начального объёмов.

Использование формулы для изохорного, изобарного или изотермического процесса без проверки постоянной величины нарушает условия задачи. Ошибку допускают, когда ориентируются на знакомую формулу, а не на текст условия. Сначала выпишите, что именно постоянно, и только затем выбирайте уравнение.

При расчёте КПД путают теплоту нагревателя с теплотой холодильника, поэтому результат может оказаться больше единицы. КПД считают по формуле η = (Qн − Qх)/Qн, где Qн — полученная теплота. Самопроверка проста: значение должно быть неотрицательным и не превышать 1, или 100%.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны уравнение состояния идеального газа, формулы внутренней энергии и первый закон термодинамики. Они связывают макроскопические параметры газа с его энергетическими изменениями.

Эти навыки пригодятся при изучении тепловых двигателей, циклов на p–V-диаграммах и задач на энергетический баланс. По графику можно определять работу, а по теплотам — оценивать эффективность устройства.

Что запомнить

• Сначала определяют систему, процесс и неизвестную величину.
• Все температуры в газовых законах выражают в кельвинах.
• Работа газа при расширении положительна, при сжатии отрицательна.
• При постоянном объёме работа газа равна нулю.
• Для идеального газа изменение внутренней энергии зависит только от изменения температуры.
• КПД теплового двигателя не может быть больше единицы.
• Результат нужно проверять по единицам, знаку и физическому смыслу.