"Физика. Оптика. Квантовая физика (углублённый уровень)", Мякишев Г.Я., Синяков А.З.
Задачи на тонкую линзу учат находить положение изображения, его размер и характер: действительное оно или мнимое, прямое или перевёрнутое. Для решения используют рисунок хода лучей, формулу тонкой линзы и формулу увеличения. Главное — правильно выбрать знаки фокусного расстояния и расстояний до предмета и изображения. По знаку результата и схеме можно проверить, имеет ли ответ физический смысл.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Оптическая сила линзы — величина, равная обратному фокусному расстоянию: D = 1/F. Фокусное расстояние F выражают в метрах, а оптическую силу D — в диоптриях: 1 дптр = 1 м⁻¹. Чем меньше фокусное расстояние по модулю, тем сильнее линза преломляет лучи.
Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние с расстояниями до предмета и изображения: 1/F = 1/a + 1/b. Здесь a — расстояние от линзы до предмета, b — расстояние от линзы до изображения. Формула нужна, чтобы по двум известным величинам найти третью, но перед подстановкой следует выбрать знаки.
Увеличение линзы — отношение линейного размера изображения к размеру предмета: Γ = h′/h. Для тонкой линзы Γ = −b/a, поэтому модуль увеличения показывает изменение размера, а знак — ориентацию изображения. Отрицательное увеличение соответствует перевёрнутому изображению, положительное — прямому.
Решение оптической задачи начинают с рисунка хода лучей, потому что положение пересечения лучей определяет характер изображения. Луч, идущий параллельно главной оптической оси, после собирающей линзы проходит через фокус, а луч через оптический центр практически не меняет направления. По схеме можно заранее понять, будет изображение действительным или мнимым, прямым или перевёрнутым.
Перед подстановкой в формулу нужно согласовать знаки всех величин с одной системой обозначений. В дальнейшем используем соглашение: действительный предмет имеет a > 0, действительное изображение — b > 0, мнимое — b < 0, а для собирающей линзы F > 0. Знаки нужны не формально: они сообщают, по какую сторону линзы находятся предмет и изображение.
Из формулы линзы неизвестное расстояние находят обычным алгебраическим преобразованием. Например, из 1/F = 1/a + 1/b следует 1/b = 1/F − 1/a, а затем b = 1/(1/F − 1/a). Если результат для b отрицательный, лучи после линзы не сходятся реально, а их продолжения пересекаются со стороны предмета.
Увеличение удобно вычислять через расстояния: Γ = −b/a. Поэтому сначала определяют отношение модулей b и a, а затем учитывают знак минус и знаки самих расстояний. Если |Γ| > 1, изображение увеличенное, если |Γ| < 1 — уменьшенное, а знак Γ показывает, перевёрнуто оно или прямое.
Последний шаг — физическая проверка ответа по рисунку и условиям задачи. Например, собирающая линза может создать мнимое изображение, если предмет расположен ближе фокуса, хотя сама линза остаётся собирающей. В таком случае изображение будет прямым и увеличенным, что должно совпасть со знаком и модулем найденного увеличения.
| Что определяют | Соотношение или проверка | Физический смысл |
|---|---|---|
| Связь расстояний и фокусного расстояния | 1/F = 1/a + 1/b | Определяет положение изображения по положению предмета и свойствам линзы. |
| Оптическая сила | D = 1/F, F в метрах | Показывает преломляющую способность линзы; единица — диоптрия. |
| Увеличение | Γ = −b/a | Модуль задаёт размер, знак — ориентацию изображения. |
| Знак расстояния до изображения | b > 0 — действительное, b < 0 — мнимое | Показывает, пересекаются ли реальные лучи после линзы. |
| Проверка результата по ходу лучей | Сравнить ответ со схемой и положением предмета относительно фокуса | Помогает обнаружить ошибку в знаках или преобразованиях. |
Сначала найдите в таблице нужное соотношение, а затем проверьте единицы измерения и знаки. После вычислений сопоставьте знак b и величину Γ с ходом лучей. Такая проверка особенно полезна в задачах на мнимые изображения.
Предмет находится перед собирающей линзой на расстоянии, большем фокусного. Пусть F = 20 см, а = 60 см; требуется найти расстояние до изображения. Поскольку предмет расположен дальше фокуса, ожидаем действительное перевёрнутое изображение.
Ответ: изображение образуется на расстоянии 30 см от линзы по другую сторону от предмета. Результат согласуется со схемой: при а > F лучи после линзы действительно сходятся. Так как предмет находится дальше 2F, изображение получилось уменьшенным.
Фокусное расстояние собирающей линзы F = 15 см, а действительное изображение находится на расстоянии b = 30 см. Нужно определить положение предмета и линейное увеличение. Положительные F и b означают, что речь идёт о собирающей линзе и действительном изображении.
Ответ: предмет расположен в 30 см от линзы, а изображение перевёрнуто и равно предмету по размеру. Это соответствует расположению предмета на расстоянии 2F. Изображение также находится на расстоянии 2F, поэтому отношение расстояний по модулю равно единице.
Собирающая линза имеет F = 10 см, а предмет расположен перед ней на расстоянии a = 6 см, то есть между линзой и фокусом. Нужно найти положение изображения и увеличение. По ходу лучей заранее ожидаем мнимое, прямое и увеличенное изображение.
Ответ: изображение находится на расстоянии 15 см от линзы со стороны предмета, поэтому оно мнимое. Оно прямое и увеличенное в 2,5 раза. Отрицательное b показывает, что реальные лучи не пересеклись, а их продолжения пересекаются за линзой в обратном направлении.
Подстановка расстояний как положительных чисел. Так делают, потому что в условии расстояние обычно дано без знака. Но при мнимом изображении это меняет результат и может превратить его в действительное; проверяйте знак b по схеме.
Путаница между F и D. Обе величины характеризуют линзу, поэтому их иногда считают взаимозаменяемыми. Однако F измеряется в метрах, а D — в диоптриях; используйте D = 1/F и переводите F в метры.
Любое изображение считают действительным. Наличие линзы ещё не означает, что после неё лучи реально пересеклись. Определяйте тип по знаку b и по тому, пересекаются ли сами лучи или только их продолжения.
Неверно находят увеличение. Можно перепутать порядок расстояний или потерять знак «минус» в Γ = −b/a. Сначала запишите формулу, затем сравните |Γ| с единицей и отдельно истолкуйте знак.
Для решения задач нужны знания о ходе лучей в собирающих и рассеивающих линзах, правила построения изображений и формула тонкой линзы. Без них невозможно заранее оценить положение изображения и выбрать правильные знаки.
Связь расстояний и увеличения используется при изучении оптических приборов. Эти формулы помогают понять работу глаза, лупы и микроскопа, где важно не только получить изображение, но и изменить его видимый размер.
Зачем рисовать ход лучей, если можно сразу применить формулу?
Рисунок показывает, где примерно должно находиться изображение и каким оно будет. Это помогает выбрать знаки величин и заметить ошибку в вычислениях.
Как понять, какое расстояние в задаче нужно считать отрицательным?
При принятом школьном соглашении расстояние до действительного изображения считают положительным, а до мнимого — отрицательным. Для собирающей линзы F > 0, для рассеивающей F < 0; расстояние до реального предмета обычно берут положительным.
Как по результату вычисления определить, действительное изображение или мнимое?
Если расстояние до изображения b получилось положительным, изображение действительное и возникает по другую сторону линзы. Если b < 0, изображение мнимое и находится с той же стороны линзы, что и предмет.
Почему оптическую силу нельзя подставлять в формулу вместо фокусного расстояния?
Оптическая сила D и фокусное расстояние F — взаимно обратные величины, но измеряются по-разному. Сначала нужно использовать связь D = 1/F, где F выражено в метрах, и только потом подставлять F в формулу линзы.
Как связаны увеличение линзы и расстояния до предмета и изображения?
Линейное увеличение определяется формулой Γ = −b/a. Поэтому его модуль равен отношению расстояния до изображения к расстоянию до предмета, а знак показывает ориентацию изображения.
§ 1.28. Примеры решения задач
