§ 6.6. Модель атома водорода по Бору

Определения и обозначения

Стационарное состояние атома — состояние, в котором электрон не излучает энергию и атом обладает определённой энергией. Иначе говоря, энергия атома в таком состоянии не меняется самопроизвольно. Это понятие позволяет объяснить устойчивость атома, которую классическая модель описать не могла.

Орбита электрона в модели Бора — разрешённая траектория электрона вокруг ядра, на которой он находится в стационарном состоянии. Орбита здесь не может быть выбрана произвольно: ей соответствуют определённые параметры движения. Это представление помогает наглядно связать положение электрона с энергией атома.

Квантование орбит — условие, согласно которому электрону разрешены не любые орбиты, а только орбиты с определёнными значениями момента импульса. Для кругового движения это условие записывают как mvr = nℏ, где n — целое положительное число. Оно нужно, чтобы получить дискретный, а не непрерывный набор возможных состояний.

Энергетический уровень атома — одно из разрешённых значений энергии атома в стационарном состоянии. Каждому уровню соответствует определённое состояние электрона, а не произвольное промежуточное значение энергии. Понятие уровня позволяет описывать переходы атома и энергию испускаемого или поглощаемого света.

Как это устроено

В классической модели электрон движется вокруг положительно заряженного ядра и, меняя направление скорости, испытывает ускорение. По законам классической электродинамики ускоренный заряд должен излучать электромагнитные волны. Теряя энергию, электрон приближался бы к ядру, поэтому атом быстро разрушался бы. Кроме того, непрерывная потеря энергии давала бы непрерывный спектр, тогда как у водорода наблюдают отдельные линии.

Бор устранил это противоречие двумя постулатами. Первый утверждает, что атом может находиться в стационарных состояниях с определёнными энергиями и в них не излучает, даже если электрон движется. Второй допускает излучение и поглощение только при переходах между такими состояниями. Это не следует из классической электродинамики: постулаты вводят правила, которые должны согласоваться с наблюдаемыми свойствами атома.

Чтобы выбрать стационарные орбиты, Бор потребовал, чтобы момент импульса электрона принимал только значения mvr = nℏ. Здесь m — масса электрона, v — его скорость, r — радиус круговой орбиты, n = 1, 2, 3… — целое число, а ℏ = h/(2π). Условие квантования оставляет не все возможные радиусы, а только определённый набор. Поэтому у атома водорода есть дискретные разрешённые орбиты и соответствующие им энергии.

Если электрон переходит между состояниями, энергия атома меняется. При переходе вниз разность энергий уносится фотоном, а при переходе вверх атом получает фотон извне. Энергия фотона равна модулю изменения энергии атома: hν = |E₂ − E₁|, где h — постоянная Планка, а ν — частота света. Значит, энергия фотона определяется конкретной парой уровней, а не одним уровнем отдельно.

Поскольку уровни водорода дискретны, возможны только определённые разности их энергий, а значит, и определённые частоты фотонов. Это объясняет линейчатый спектр: каждая линия соответствует переходу между двумя уровнями. Модель Бора успешно описывает спектр водорода и других одноэлектронных систем. Для сложных атомов её недостаточно: она не учитывает подробно взаимодействие нескольких электронов и заменена более общей квантовой механикой.

Основные положения модели Бора для атома водорода

Используйте таблицу, чтобы проследить цепочку от постулатов к наблюдаемому результату: разрешённые состояния задают уровни, а переходы между ними дают фотоны. В задачах сначала определите направление перехода, затем применяйте связь энергии фотона с разностью уровней. Так легче не перепутать физический смысл формулы и её знак.

Разбор задач

Задача 1. Электрон в атоме водорода переходит с третьего энергетического уровня на второй. Определите, испускается или поглощается фотон.

1. Сопоставим начальное и конечное состояния: начальное — третий уровень, конечное — второй.
2. Второй уровень ниже третьего, значит, энергия атома после перехода стала меньше.
3. Разность энергий должна перейти к окружающему миру в виде фотона, поэтому происходит испускание.

Ответ: атом испускает фотон.

Задача 2. Найдите энергию фотона, испускаемого при переходе с уровня E₃ на уровень E₂, если энергии уровней заданы. Например, пусть E₃ = −1,51 эВ, E₂ = −3,40 эВ.

1. Проверим направление: E₃ выше E₂, так как −1,51 эВ больше, чем −3,40 эВ. Переход вниз сопровождается испусканием.
2. Найдём модуль разности энергий: |E₃ − E₂| = |−1,51 − (−3,40)| = 1,89 эВ.
3. Эта величина и есть энергия фотона. Если требуется выразить её в джоулях, используем 1 эВ ≈ 1,602 · 10⁻¹⁹ Дж: Eф ≈ 3,03 · 10⁻¹⁹ Дж.

Ответ: 1,89 эВ, или приблизительно 3,03 · 10⁻¹⁹ Дж.

Задача 3. Атом водорода испускает фотон частоты ν. Определите разность энергий уровней и направление перехода.

1. Из известной частоты найдём энергию фотона по формуле Eф = hν. Например, при ν = 4,57 · 10¹⁴ Гц и h = 6,63 · 10⁻³⁴ Дж·с получим Eф ≈ 3,03 · 10⁻¹⁹ Дж.
2. По условию Бора модуль разности энергий равен энергии фотона: |E₂ − E₁| = hν.
3. Известно, что фотон испущен, поэтому атом потерял энергию и перешёл с более высокого уровня на более низкий. Частота задаёт величину разности, а направление определяет факт испускания.

Ответ: разность энергий по модулю равна hν (в примере 3,03 · 10⁻¹⁹ Дж); переход произошёл на более низкий уровень.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что электрон может находиться на любой орбите. Так думают, перенося на атом привычное классическое движение, при котором радиус можно менять непрерывно. Проверьте себя: допустимая орбита должна удовлетворять условию квантования момента импульса.

Ошибка: полагать, что электрон излучает на стационарной орбите. Такое заключение следует из классической электродинамики, но противоречит первому постулату Бора. Спросите себя, происходит ли переход между состояниями: если нет, в модели излучения нет.

Ошибка: путать испускание и поглощение фотона. Направление иногда определяют только по словам «переход между уровнями», не сравнив их энергии. Проверьте, куда движется электрон по уровням: вниз — испускание, вверх — поглощение.

Ошибка: приравнивать энергию фотона энергии одного из уровней. Уровни задают энергию атома, а фотон связан с изменением этой энергии. Для проверки запишите hν = |E₂ − E₁| и убедитесь, что учтены оба состояния.

Связь с другими темами

Для понимания модели нужны закон Кулона и представление о движении заряженной частицы в электрическом поле: они помогают описать притяжение электрона к ядру. Понятие энергии позволяет сравнивать состояния атома, а формула E = hν связывает энергию фотона с частотой света. Поэтому модель Бора соединяет механику, электростатику и оптику.

Дискретные энергетические уровни объясняют линейчатые спектры и служат основой для знакомства со спектроскопией — методом изучения вещества по его излучению и поглощению. Успехи и ограничения модели показывают, зачем понадобилась квантовая механика. Она заменяет орбиты более общим описанием состояний электронов.

Что запомнить

• Атом водорода в стационарном состоянии не излучает энергию.
• Электрону разрешены только определённые орбиты и соответствующие им энергии.
• Момент импульса электрона в модели Бора принимает дискретные значения.
• Излучение или поглощение происходит при переходе между стационарными состояниями.
• Энергия фотона равна модулю разности энергий уровней: hν = |E₂ − E₁|.
• Модель Бора успешно объясняет спектр водорода, но не является полной моделью атома.