§65 Коэффициент полезного действия механизма

Определения и обозначения

Полезная работа — работа, ради получения которой используют механизм. Её обозначают Aполезн и определяют по той части задачи, которая связана с нужным результатом: например, при подъёме груза полезна работа по подъёму самого груза. Чтобы найти её, выясните, какую силу нужно учитывать и на каком пути она совершает работу. Если сила постоянна и направлена вдоль движения, используют формулу A = Fs.

Затраченная работа — вся работа, совершённая приложенной к механизму силой; её обозначают Aзатрач. Она включает не только работу, которая приводит к нужному результату, но и работу против трения и других сопротивлений. Поэтому затраченную работу находят по действующей силе и её пути, а не только по перемещению полезного груза. Это помогает не принять часть общих затрат за результат работы механизма.

Коэффициент полезного действия механизма — отношение полезной работы к затраченной; его обозначают греческой буквой η (эта). Формула: η = Aполезн / Aзатрач · 100%. Если результат выражают долей единицы, множитель 100% не используют: например, η = 0,6 соответствует 60%. КПД нужен, чтобы сравнивать, какая часть работы в разных механизмах приносит полезный результат.

Как это устроено

Когда механизм работает, к нему прикладывают силу и совершают затраченную работу. Эта работа не обязательно целиком направлена на полезную задачу, потому что детали механизма соприкасаются и взаимодействуют с окружающими предметами. Часть усилий уходит на движение самих деталей или на преодоление сопротивлений. Поэтому общие затраты работы складываются из полезной части и потерь.

Одна из главных причин потерь — трение: соприкасающиеся поверхности сопротивляются движению. Чтобы механизм продолжал двигаться, приложенная сила должна преодолевать это сопротивление, а значит, на него тоже тратится работа. При этом часть механической энергии переходит, например, во внутреннюю энергию деталей, которые нагреваются. Эта энергия не исчезает, но уже не помогает выполнить основную задачу механизма.

КПД сравнивает результат с общими затратами, поэтому перед вычислением важно выделить обе работы. Полезной считают работу, связанную с целью задачи, а затраченной — всю работу приложенной силы на механизме. Если перепутать эти величины, отношение перестанет показывать долю полезного результата. Единицы работ должны совпадать, например обе величины должны быть выражены в джоулях.

Отношение полезной работы к затраченной показывает долю, которая пошла на нужный результат. Чтобы записать эту долю в процентах, её умножают на 100: так значение 0,75 превращается в 75%. Если требуется ответ в виде доли единицы, например 0,75, умножать на 100 не нужно. В условии задачи обычно можно понять нужный вид ответа по тому, как задан КПД или что требуется найти.

У реального механизма всегда есть трение и другие сопротивления, поэтому полезная работа меньше затраченной, а КПД — меньше 100%. Если потерь не было бы, вся затраченная работа стала бы полезной, и КПД составил бы 100%. Такой механизм называют идеальным: это удобная модель для сравнения, но не описание обычного механизма. КПД выше 100% означал бы, что полезная работа больше всех затрат, что противоречит смыслу этих величин.

Работы и КПД механизма

В таблице работы измеряются в джоулях, а КПД показывает отношение этих работ и может быть выражен в процентах. Для решения сначала определите, какая работа полезная, а какая затраченная. Затем выберите формулу или выразите из неё неизвестную величину.

Разбор задач

Найти КПД по двум работам

Механизм совершил полезную работу 120 Дж, а затраченная работа составила 200 Дж. Нужно найти КПД и выразить его в процентах. Полезная работа уже отделена от полной затраты, поэтому можно сразу использовать формулу η = Aполезн / Aзатрач · 100%. Обе работы даны в одинаковых единицах.

1. Записываем данные: Aполезн = 120 Дж, Aзатрач = 200 Дж.
2. Подставляем их в формулу: η = 120 / 200 · 100%.
3. Вычисляем отношение: 120 / 200 = 0,6; затем 0,6 · 100% = 60%.

Ответ: КПД механизма равен 60%. Это значит, что 60 частей из каждых 100 частей затраченной работы стали полезными.

Найти полезную работу по КПД

КПД механизма равен 75%, затраченная работа — 400 Дж. Требуется найти полезную работу. Чтобы умножить работы на КПД, заданные в процентах, сначала переводим его в долю единицы: 75% = 0,75. Из формулы КПД следует, что полезная работа равна затраченной, умноженной на КПД в виде доли.

1. Записываем данные: η = 75% = 0,75, Aзатрач = 400 Дж.
2. Выражаем полезную работу: Aполезн = η · Aзатрач.
3. Подставляем данные и считаем: Aполезн = 0,75 · 400 Дж = 300 Дж.

Ответ: полезная работа равна 300 Дж. Она меньше затраченной работы, что согласуется с КПД меньше 100%.

Найти затраченную работу и потери

При подъёме груза полезная работа составила 900 Дж, а КПД механизма — 60%. Нужно найти затраченную работу и работу, пошедшую на преодоление сопротивлений. Прежде чем подставлять данные, переводим проценты в долю единицы: 60% = 0,6. Поскольку полезная работа составляет 0,6 затраченной, общую работу нужно найти делением.

1. Записываем данные: Aполезн = 900 Дж, η = 0,6.
2. Из формулы η = Aполезн / Aзатрач выражаем затраченную работу: Aзатрач = Aполезн / η.
3. Вычисляем: Aзатрач = 900 Дж / 0,6 = 1500 Дж.
4. Находим разность работ: 1500 Дж − 900 Дж = 600 Дж.

Ответ: затраченная работа равна 1500 Дж, а работа, связанная с преодолением сопротивлений, — 600 Дж. Разность показывает, какая часть затрат не стала полезной работой по подъёму груза.

Типичные ошибки

Меняют местами полезную и затраченную работы. Тогда в числителе оказывается общая работа, а в знаменателе — её часть, и результат может оказаться больше 100%. Так ошибаются, если забывают, что затраченная работа включает полезную и потери. Проверьте себя: полезная работа должна стоять сверху, а затраченная — снизу.

Забывают умножить отношение на 100%. Например, получают 0,6 и записывают ответ 0,6%, хотя это значение в долях единицы. Ошибка возникает, когда не замечают, что в условии требуется процентный ответ. Проверьте единицу ответа: для процентов вычисленное отношение нужно умножить на 100.

Считают, что КПД реального механизма может быть больше 100%. Такое значение означает, что полезная работа якобы превысила все затраты. Обычно причина — перепутанные работы, неправильные единицы или арифметическая ошибка. Сверьте, что в знаменателе стоит затраченная работа, и проверьте, не получилось ли, что полезная работа больше неё.

Приравнивают полезную работу затраченной. Так можно рассуждать, если учитывать только желаемый результат и забыть о работе против трения и других сопротивлений. Из-за этого потери не учитываются, а реальный КПД ошибочно принимается за 100%. Проверьте, есть ли у механизма соприкасающиеся детали или сопротивление движению; для реального механизма полезная работа обычно меньше затраченной.

Связь с другими темами

Для задач на КПД нужно знать работу силы: A = Fs, где F — сила, а s — путь, пройденный в направлении силы. По этой формуле находят работу в джоулях, а затем определяют, какая её часть полезная и какая затраченная. Поэтому сначала важно правильно определить силу и путь для каждой работы.

КПД помогает оценивать простые механизмы и машины: он показывает, насколько эффективно они передают и преобразуют энергию. Это понятие пригодится при изучении подъёмных устройств и других механизмов. Оно связывает расчёт работы с пониманием потерь энергии.

Что запомнить

• КПД показывает, какая часть затраченной работы стала полезной.
• КПД равен отношению полезной работы к затраченной.
• Чтобы получить КПД в процентах, отношение работ умножают на 100%.
• Полезная работа не превышает затраченную.
• У реального механизма КПД меньше 100%.
• Разность затраченной и полезной работ связана с потерями на трение и другие сопротивления.