1. Сопротивление двух параллельно соединённых проводников

Определения и обозначения

Параллельное соединение проводников — соединение, при котором оба конца каждого проводника подключены к одним и тем же двум узлам цепи. Узел — место, где соединяются несколько участков цепи. Такое определение помогает понять, почему напряжение на всех параллельных ветвях одинаково.

Ветвь электрической цепи — участок между узлами, по которому при параллельном соединении проходит ток через отдельный проводник. Ветвью может быть, например, один резистор с подводящими проводами. Понятие ветви нужно, чтобы отдельно рассматривать токи I₁ и I₂ в разных проводниках.

Общее сопротивление параллельного соединения — сопротивление одного условного проводника, который при том же напряжении потреблял бы такой же общий ток. Его обозначают R, а сопротивления отдельных проводников — R₁ и R₂. Это позволяет заменить несколько параллельных ветвей одним эквивалентным сопротивлением при расчёте цепи.

Как это устроено

При параллельном соединении напряжение на каждом проводнике одинаково, потому что оба проводника присоединены к одной паре узлов. Между этими узлами существует одна и та же разность потенциалов. Поэтому можно записать U₁ = U₂ = U, где U — общее напряжение участка.

Ток в неразветвлённой части цепи равен сумме токов в ветвях: I = I₁ + I₂. До разветвления весь заряд движется одним потоком, затем поток распределяется между проводниками. После соединения ветвей отдельные токи снова складываются, поэтому заряд не исчезает и не появляется в узле.

Силу тока в каждой ветви находят по закону Ома. Так как на обеих ветвях действует одно и то же напряжение, получаем I₁ = U/R₁ и I₂ = U/R₂. Ветка с меньшим сопротивлением пропускает больший ток, а ветка с большим сопротивлением — меньший.

Заменим параллельные проводники одним условным сопротивлением R. Для него общий ток равен I = U/R, а для ветвей — I₁ = U/R₁ и I₂ = U/R₂. Подставляя эти выражения в I = I₁ + I₂, получаем U/R = U/R₁ + U/R₂; после сокращения на U выходит 1/R = 1/R₁ + 1/R₂.

Для двух проводников преобразуем полученное равенство и получаем R = R₁R₂/(R₁ + R₂). В знаменателе стоит сумма сопротивлений, а в числителе — их произведение. Общее сопротивление меньше меньшего из двух сопротивлений, потому что общий путь для тока включает сразу несколько параллельных ветвей.

Свойства двух параллельно соединённых проводников

Таблицу удобно использовать как краткий алгоритм: сначала определить одинаковое напряжение, затем найти токи в ветвях и сложить их. Если требуется только общее сопротивление двух проводников, сразу применяйте формулу с произведением и суммой. Последнюю строку используйте для проверки результата.

Разбор задач

Задача 1

Два резистора сопротивлениями 6 Ом и 3 Ом соединены параллельно. Найдём их общее сопротивление. Здесь известны оба сопротивления, поэтому удобнее применить готовую формулу для двух ветвей.

1. Записываем R₁ = 6 Ом и R₂ = 3 Ом.
2. Подставляем значения: R = R₁R₂/(R₁ + R₂) = 6 · 3/(6 + 3) Ом.
3. Вычисляем: R = 18/9 Ом = 2 Ом.

Ответ: общее сопротивление равно 2 Ом. Оно действительно меньше 3 Ом — меньшего сопротивления ветвей, значит результат физически правдоподобен.

Задача 2

Резисторы 4 Ом и 12 Ом соединены параллельно и подключены к напряжению 12 В. Требуется найти ток в каждой ветви и общий ток. Напряжение на обоих резисторах равно 12 В, поэтому закон Ома применяем отдельно к каждой ветви.

1. Для первого резистора: I₁ = U/R₁ = 12 В/4 Ом = 3 А.
2. Для второго резистора: I₂ = U/R₂ = 12 В/12 Ом = 1 А.
3. Складываем токи: I = I₁ + I₂ = 3 А + 1 А = 4 А.
4. Проверяем через общее сопротивление: R = 4 · 12/(4 + 12) Ом = 3 Ом, значит I = U/R = 12/3 А = 4 А.

Ответ: токи в ветвях равны 3 А и 1 А, общий ток — 4 А. Через резистор с меньшим сопротивлением течёт больший ток.

Задача 3

Два резистора соединены параллельно, их общее сопротивление равно 4 Ом, а сопротивление одного резистора — 6 Ом. Найдём сопротивление второго, используя обратную формулу. Такой способ удобен, когда неизвестна одна ветвь.

1. Записываем 1/R₂ = 1/R − 1/R₁.
2. Подставляем данные: 1/R₂ = 1/4 − 1/6 = 3/12 − 2/12 = 1/12.
3. Следовательно, R₂ = 12 Ом.

Ответ: сопротивление второго резистора равно 12 Ом. Проверка: 12 Ом больше общего сопротивления 4 Ом, а подстановка в исходную формулу снова даёт 4 Ом.

Типичные ошибки

Сопротивления складывают как при последовательном соединении: R = R₁ + R₂. Так делают, потому что при последовательном соединении действительно складываются сопротивления, но для параллельных ветвей нужно складывать обратные величины: 1/R = 1/R₁ + 1/R₂. Проверка — результат должен быть меньше меньшего исходного сопротивления.

Считают, что токи в ветвях обязательно равны. Это верно только при одинаковых сопротивлениях, поскольку напряжение в ветвях одно, а ток зависит от сопротивления. Сравните сопротивления: в ветви с меньшим R ток должен быть больше.

Полагают, что напряжение делится между параллельными проводниками. На самом деле их концы соединены с одними узлами, поэтому на каждом действует полное напряжение участка. В записи должно стоять U₁ = U₂ = U.

Получают общее сопротивление больше сопротивления меньшего резистора. Такое значение невозможно для параллельного соединения: дополнительные ветви облегчают прохождение тока. Проверьте, не перепутаны ли числитель и знаменатель в формуле R = R₁R₂/(R₁ + R₂).

Связь с другими темами

Для расчётов нужен закон Ома для участка цепи: I = U/R. Также необходимо различать силу тока, напряжение и сопротивление: это разные физические величины с разными единицами измерения. Смешивать их в одной формуле без проверки нельзя.

Параллельное соединение связано с правилами разветвления электрической цепи. В узле ток распределяется по ветвям, а затем складывается обратно, поэтому общий ток равен сумме токов отдельных участков. Это правило помогает анализировать цепь, даже если ветвей больше двух.

Расчёт параллельных участков понадобится при изучении смешанного соединения проводников. Он также объясняет устройство многих бытовых цепей: приборы подключают параллельно, чтобы каждый получал полное напряжение и мог работать независимо от других.

Что запомнить

• При параллельном соединении напряжения на проводниках одинаковы: U₁ = U₂ = U.
• Общий ток равен сумме токов в ветвях: I = I₁ + I₂.
• Ток в каждой ветви находят по закону Ома.
• Обратное общее сопротивление равно сумме обратных сопротивлений ветвей.
• Для двух проводников R = R₁R₂/(R₁ + R₂).
• Общее сопротивление параллельного соединения меньше сопротивления каждой ветви.