§14. Применение закона Ома к параллельному и смешанному соединению проводников

Определения и обозначения

Параллельное соединение проводников — соединение, при котором оба конца каждого проводника подключены к одной и той же паре узлов. Поэтому напряжение на всех ветвях одинаково: U = U₁ = U₂. Это позволяет находить ток каждой ветви по её сопротивлению.

Смешанное соединение — цепь, в которой есть участки с последовательным и параллельным соединением. Её нельзя рассчитывать одной формулой для всей схемы, поэтому сначала упрощают отдельные части. Такой способ помогает шаг за шагом найти токи и напряжения.

Общее сопротивление параллельного участка — сопротивление одного условного проводника, который можно поставить вместо всех параллельных ветвей без изменения тока в остальной цепи. Его обозначают Rобщ. После такой замены сложная часть схемы становится проще для расчёта.

Узлы — точки разветвления и соединения токов, а ветви — участки цепи между узлами. Проводники параллельны, если их концы соединены с одной парой узлов. Именно по узлам определяют, где ток разделяется и где складывается.

Как это устроено

Параллельные ветви подключены к одним и тем же двум узлам, поэтому между их концами находится один и тот же источник напряжения. Напряжение показывает работу электрического поля при переносе заряда между двумя точками. Если точки начала и конца одинаковы, то и напряжение на каждой ветви одинаково.

В узле ток разделяется, потому что заряды могут уходить сразу по нескольким путям. Заряд не накапливается в обычном узле цепи, поэтому за единицу времени в узел входит столько же заряда, сколько выходит. Отсюда следует правило: Iобщ = I₁ + I₂ + … .

Для каждой ветви применяют закон Ома: I₁ = U/R₁, I₂ = U/R₂ и так далее. Подставляя эти выражения в сумму токов, получают Iобщ = U(1/R₁ + 1/R₂ + …). Так как Iобщ = U/Rобщ, после сокращения напряжения получается 1/Rобщ = 1/R₁ + 1/R₂ + … .

Общее сопротивление параллельного участка меньше сопротивления каждой его ветви. При добавлении новой ветви появляется ещё один путь для движения зарядов, поэтому при прежнем напряжении общий ток возрастает. По формуле R = U/I увеличение тока означает уменьшение общего сопротивления.

Смешанную цепь рассчитывают по участкам, потому что разные соединения подчиняются разным правилам. Сначала находят сопротивление простого параллельного или последовательного фрагмента и заменяют его одним эквивалентным резистором. Затем вычисляют параметры оставшейся схемы, а при необходимости возвращаются к исходной ветви и находят её ток.

Закономерности при параллельном и смешанном соединении

Таблица помогает быстро выбрать подходящее правило для части электрической цепи. Сначала определите, соединены ли элементы между одной парой узлов или стоят друг за другом. Для смешанной схемы используйте сведения о каждом участке по очереди.

Разбор задач

Задача 1. Два резистора 6 Ом и 3 Ом соединены параллельно и подключены к источнику 6 В. Нужно найти общее сопротивление и ток в каждом резисторе. Напряжение на обеих ветвях равно 6 В.

1. Найдём токи по закону Ома: I₁ = 6/6 = 1 А, I₂ = 6/3 = 2 А.
2. Общий ток равен сумме: Iобщ = 1 + 2 = 3 А.
3. Общее сопротивление Rобщ = U/Iобщ = 6/3 = 2 Ом.

Ответ: Rобщ = 2 Ом, токи равны 1 А и 2 А. Проверка показывает, что 3 А = 1 А + 2 А, значит правило узла выполнено.

Задача 2. Резисторы 4 Ом и 12 Ом соединены параллельно, напряжение источника равно 12 В. Требуется найти эквивалентное сопротивление и общий ток. Здесь можно сначала применить формулу для обратных сопротивлений.

1. 1/Rобщ = 1/4 + 1/12 = 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3.
2. Следовательно, Rобщ = 3 Ом.
3. Iобщ = U/Rобщ = 12/3 = 4 А.

Ответ: общее сопротивление равно 3 Ом, общий ток — 4 А. Он больше тока в каждой отдельной ветви, поскольку складывается из токов двух ветвей.

Задача 3. Резистор 2 Ом соединён последовательно с параллельной группой 6 Ом и 3 Ом, вся цепь подключена к 12 В. Сначала нужно заменить параллельную группу, а затем рассчитать последовательную цепь. После этого можно определить токи внутри группы.

1. Для группы: 1/Rг = 1/6 + 1/3 = 1/2, поэтому Rг = 2 Ом.
2. Сопротивление цепи R = 2 + 2 = 4 Ом, общий ток I = 12/4 = 3 А.
3. На последовательном резисторе напряжение 3 · 2 = 6 В, значит на группе тоже 6 В. Токи ветвей: 6/6 = 1 А и 6/3 = 2 А.

Ответ: Rобщ = 4 Ом, Iобщ = 3 А, токи в параллельных ветвях равны 1 А и 2 А. Их сумма совпадает с общим током.

Типичные ошибки

Одинаковый ток во всех параллельных ветвях. Так бывает при последовательном соединении, а при параллельном одинаково напряжение. Проверьте себя: найдите токи по I = U/R и сравните их.

Сложение сопротивлений параллельных проводников. Такое сложение применяют для последовательной цепи, где ток проходит через элементы один за другим. Для параллельного участка используйте сумму обратных сопротивлений.

Слишком большое общее сопротивление параллельной группы. Дополнительная ветвь даёт зарядам новый путь, поэтому общий ток увеличивается. Проверьте результат: Rобщ должно быть меньше сопротивления самой малой ветви.

Одна формула для всей смешанной цепи. В такой схеме разные части соединены по-разному, поэтому единое правило не подходит. Выделяйте простой участок, заменяйте его эквивалентным сопротивлением и только потом продолжайте расчёт.

Связь с другими темами

Для расчёта параллельных и смешанных цепей нужны закон Ома для участка цепи, правила последовательного соединения, а также знания о силе тока и напряжении. Амперметр включают последовательно, а вольтметр — параллельно участку, напряжение которого измеряют. Это связано с тем, как ток проходит по ветвям схемы.

Расчёт смешанных цепей помогает разбирать реальные электрические схемы. Такие знания нужны при изучении потребления электроэнергии бытовыми приборами, где отдельные элементы могут быть соединены разными способами. Умение заменять участок эквивалентным сопротивлением облегчает анализ сложной цепи.

Что запомнить

• При параллельном соединении напряжение на всех ветвях одинаково.
• Общий ток равен сумме токов в параллельных ветвях.
• Для параллельного соединения 1/Rобщ = 1/R₁ + 1/R₂ + … .
• Общее сопротивление параллельной группы меньше сопротивления любой её ветви.
• Смешанную цепь рассчитывают по участкам, последовательно упрощая схему.
• После упрощения участка его эквивалентное сопротивление заменяет сопротивления входящих в него проводников.