5. Последовательное соединение нескольких проводников с различными сопротивлениями

Определения и обозначения

Последовательное соединение проводников — соединение, при котором проводники включены друг за другом и образуют единственный путь для тока. Конец одного проводника соединяют с началом другого, поэтому ток не может выбрать другой маршрут. Такое соединение обозначают, например, резисторами R1, R2, ..., Rn.

Общее сопротивление цепи — сопротивление, заменяющее несколько последовательно соединённых проводников. Оно показывает, какое сопротивление имела бы вся цепь, если заменить все элементы одним проводником. При последовательном соединении его находят сложением сопротивлений: Rобщ = R1 + R2 + ... + Rn.

Сила тока в последовательной цепи — величина, одинаковая на всех участках цепи. Её обозначают буквой I и измеряют в амперах, А. Это правило позволяет использовать одно значение тока при расчёте напряжения на любом проводнике.

Напряжение на участке цепи — разность потенциалов на отдельном проводнике, то есть причина, заставляющая заряды перемещаться. Его обозначают U и измеряют в вольтах, В. В последовательной цепи напряжение источника распределяется между проводниками, поэтому Uобщ = U1 + U2 + ... + Un.

Как это устроено

При последовательном соединении проводники соединены концом с концом. Между источником и потребителями существует только один путь движения зарядов, потому что места разветвления отсутствуют. Если цепь разорвать в любом месте, ток прекратится во всей цепи.

Сила тока одинакова во всех проводниках, поскольку в неразветвлённой цепи заряд не может накапливаться перед одним элементом или исчезать после него. За одинаковое время через любое сечение проходит один и тот же заряд. Поэтому I1 = I2 = ... = In, хотя сопротивления проводников могут быть разными.

Общее напряжение равно сумме напряжений на проводниках, потому что энергия, переданная зарядам источником, расходуется на всех последовательно включённых участках. Каждый проводник получает свою часть этой энергии. Поэтому Uобщ = U1 + U2 + ... + Un.

Формулу общего сопротивления можно получить из закона Ома. Для всей цепи I = Uобщ / Rобщ, а для отдельных проводников U1 = I · R1, U2 = I · R2 и так далее. Подставляя сумму напряжений и вынося одинаковый ток за скобки, получаем Rобщ = R1 + R2 + ... + Rn.

Напряжение распределяется не поровну, а в соответствии с сопротивлениями проводников. Так как ток один и тот же, из формулы U = I · R следует: чем больше сопротивление, тем больше падение напряжения на этом участке. Для двух проводников U1 / U2 = R1 / R2.

Свойства последовательного соединения проводников

Таблицу удобно использовать как порядок действий при решении задачи. Сначала выберите правило для нужной величины, затем подставьте известные значения в согласованных единицах. После вычислений проверьте, что сумма напряжений равна напряжению источника.

Например, если сопротивление одного участка увеличилось, ток всей цепи при том же источнике уменьшится, а распределение напряжений нужно пересчитать. При этом ток останется одинаковым во всех элементах новой цепи.

Разбор задач

Задача 1

Два резистора сопротивлениями 2 Ом и 4 Ом соединены последовательно и подключены к источнику напряжением 12 В. Нужно найти общее сопротивление, силу тока и напряжение на каждом резисторе. Сначала определяем сопротивление всей цепи, потому что оно понадобится для закона Ома.

1. Rобщ = R1 + R2 = 2 Ом + 4 Ом = 6 Ом.
2. I = Uобщ / Rобщ = 12 В / 6 Ом = 2 А.
3. U1 = I · R1 = 2 А · 2 Ом = 4 В, а U2 = I · R2 = 2 А · 4 Ом = 8 В.

Ответ: Rобщ = 6 Ом, I = 2 А, U1 = 4 В, U2 = 8 В. Проверка: 4 В + 8 В = 12 В, значит распределение напряжения найдено правильно.

Задача 2

Три резистора сопротивлениями 3 Ом, 5 Ом и 7 Ом подключены к источнику напряжением 30 В. Требуется найти силу тока и напряжение на каждом резисторе. Все элементы соединены последовательно, поэтому сначала складываем сопротивления, а затем используем один и тот же ток.

1. Rобщ = 3 Ом + 5 Ом + 7 Ом = 15 Ом.
2. I = 30 В / 15 Ом = 2 А.
3. U1 = 2 А · 3 Ом = 6 В; U2 = 2 А · 5 Ом = 10 В; U3 = 2 А · 7 Ом = 14 В.

Ответ: I = 2 А, напряжения равны 6 В, 10 В и 14 В. Проверка показывает: 6 В + 10 В + 14 В = 30 В, а большее сопротивление 7 Ом действительно имеет большее напряжение.

Задача 3

Два резистора соединены последовательно, источник имеет напряжение 24 В, сила тока равна 2 А, а сопротивление первого резистора — 6 Ом. Нужно найти сопротивление второго резистора и напряжение на каждом из них. Здесь удобнее сначала определить сопротивление всей цепи по закону Ома.

1. Rобщ = Uобщ / I = 24 В / 2 А = 12 Ом.
2. R2 = Rобщ − R1 = 12 Ом − 6 Ом = 6 Ом.
3. U1 = I · R1 = 2 А · 6 Ом = 12 В; U2 = I · R2 = 2 А · 6 Ом = 12 В.

Ответ: R2 = 6 Ом, U1 = 12 В, U2 = 12 В. Равные сопротивления дали равные напряжения, а их сумма совпала с напряжением источника.

Типичные ошибки

Ошибка: считать напряжение одинаковым на всех последовательных проводниках. Так поступают, перенося правило параллельного соединения. Проверьте себя: при последовательном соединении одинаковым должно быть I, а напряжения в сумме дают Uобщ.

Ошибка: перемножать сопротивления. Такое действие не соответствует последовательной цепи, потому что ток проходит через сопротивления одно за другим и каждое добавляет своё препятствие. Проверьте формулу: Rобщ = R1 + R2 + ... + Rn.

Ошибка: использовать разные значения силы тока для разных проводников. Причина обычно в том, что ученик воспринимает элементы как независимые участки. Убедитесь, что цепь не имеет разветвлений: тогда I1 = I2 = ... = In.

Ошибка: забывать проверить сумму напряжений. Даже правильное вычисление отдельного падения напряжения может сопровождаться ошибкой в другом месте. Сложите найденные Ui и сравните результат с Uобщ источника.

Связь с другими темами

До изучения последовательного соединения нужны закон Ома и обозначения физических величин I, U и R. Также следует знать, что амперметр включают последовательно, а вольтметр подключают параллельно измеряемому участку. Эти правила позволяют не только вычислять, но и правильно собирать цепь.

Тема нужна для расчёта цепей с несколькими резисторами, лампами и другими потребителями. По формулам можно определить ток всей цепи, напряжение на каждом элементе и сопротивление замены. Это помогает понять, как изменение одного элемента влияет на работу всей цепи.

Далее свойства последовательного соединения пригодятся при изучении параллельного и смешанного соединений. В параллельной цепи главными становятся другие соотношения: одинаковым оказывается напряжение, а ток распределяется по ветвям. Сравнение двух видов соединения помогает выбирать правильную формулу.

Что запомнить

• При последовательном соединении проводники образуют одну неразветвлённую цепь.
• Сила тока во всех последовательно соединённых проводниках одинакова.
• Общее напряжение равно сумме напряжений на отдельных проводниках.
• Общее сопротивление равно сумме сопротивлений всех проводников.
• Чем больше сопротивление проводника, тем больше напряжение на нём.
• Для расчётов применяют закон Ома: I = U / R.