Все, каждый. Узнаём, что значат слова «все» и «каждый»

Определения и обозначения

Высказывание — предложение, которому можно приписать истинность или ложность. Например, предложение «Число 4 чётное» истинно, а вопрос «Который час?» и просьба «Открой окно» не являются высказываниями: на них нельзя ответить «истинно» или «ложно». Это различие нужно, чтобы понимать, какие фразы можно проверять логически.

Предикат — утверждение о предметах или объектах, истинность которого зависит от того, о каком объекте говорится. Например, «число чётное» подходит одним числам, но не подходит другим. Предикат помогает описывать свойство объектов, которое затем можно проверять для всей группы.

Слова «все» и «каждый» указывают, что утверждение относится к каждому объекту из рассматриваемой группы. Например, фраза «Все числа набора чётные» требует проверить не одно число, а весь набор. В логике эти слова выражают квантор общности — указание на то, что свойство должно выполняться у всех объектов группы.

Контрпример — объект из рассматриваемой группы, для которого общее утверждение оказывается ложным. Если утверждается, что все числа чётные, нечётное число из этого набора будет контрпримером. Он нужен, чтобы конкретно показать, почему общего утверждения нельзя считать истинным.

Как это устроено

Чтобы понять утверждение со словами «все» или «каждый», сначала выясни, о какой группе предметов идёт речь. Без этого нельзя определить, какие именно объекты нужно проверять: слова «все карандаши» могут относиться к карандашам в одной коробке, а не к карандашам вообще. Границы группы задают условие проверки и не позволяют случайно включить в неё посторонние предметы.

Слова «все» и «каждый» выражают общий смысл: свойство должно выполняться для любого предмета из выбранной группы. Поэтому «каждый ученик группы решил задачу» не означает, что её решили многие или почти все. Один непроверенный участник может изменить результат, ведь утверждение распространяется на всю группу.

Для проверки общего утверждения можно последовательно проверить каждый объект группы. Такой порядок помогает ничего не пропустить: например, перебрать все числа в небольшом наборе и проверить, чётное ли каждое. Если группа большая, полезно выбрать надёжный способ проверки, но условие остаётся тем же — свойство должно быть верным для всех её объектов.

Одного неподходящего объекта достаточно, чтобы общее утверждение оказалось ложным. Это следует из самого смысла слов «все» и «каждый»: утверждение обещает, что исключений нет, а один найденный случай уже является исключением. При этом множество подходящих объектов не отменяет найденное исключение и не делает утверждение истинным.

Если общее утверждение неверно, его опровергают конкретным контрпримером, а не перечислением всех остальных объектов. Достаточно назвать объект из нужной группы и показать, какое свойство у него не выполняется. Смысл утверждения также зависит от границ группы: свойство может быть верным для всех треугольников, но неверным для всех фигур, если в группу фигур входит квадрат.

Как понимать утверждения со словами «все» и «каждый»

Пользуйся таблицей так: сначала определи группу, к которой относится фраза, затем выясни, какое свойство проверяется. Для истинности оно должно выполняться у каждого объекта. Чтобы доказать ложность, найди хотя бы один объект-исключение.

Разбор задач

Задача 1. В коробке лежат красные и синие карандаши. Верно ли утверждение «Все карандаши в коробке красные»? Слово «все» задаёт группу — карандаши именно в этой коробке, а свойство состоит в том, что каждый из них красный. Поэтому цвет нескольких карандашей ещё не даёт ответа.

1. Рассматриваем только карандаши, которые лежат в коробке.
2. Проверяем цвет каждого карандаша, а не только первого попавшегося.
3. Если находим синий карандаш, он не обладает свойством «красный» и опровергает утверждение.

Ответ. Утверждение ложно, потому что в коробке есть синий карандаш. Он служит контрпримером. Если бы все карандаши в коробке оказались красными, утверждение было бы истинным.

Задача 2. В наборе чисел 2, 4, 6 и 9 проверь утверждение «Каждое число чётное». Группа здесь явно задана четырьмя числами, а проверяемое свойство — делимость на 2 без остатка. Нужно убедиться, что оно выполняется для каждого элемента, а не только для части набора.

1. Проверяем числа 2, 4 и 6: все они чётные.
2. Проверяем число 9: оно нечётное, поэтому свойство для него не выполняется.
3. Называем 9 контрпримером, поскольку оно входит в набор, но не является чётным.

Ответ. Утверждение ложно. Число 9 — контрпример; даже три чётных числа из четырёх не делают верным утверждение о каждом числе набора.

Задача 3. Среди фигур лежат три треугольника и один квадрат. Составь общее утверждение о фигурах, которое будет истинным, и другое — со словом «каждый», которое будет ложным; объясни ответ. Группа состоит из всех четырёх фигур, поэтому при проверке нельзя забыть квадрат или рассматривать только треугольники.

1. Для истинного утверждения выбираем свойство «является фигурой»: оно выполняется у каждого из четырёх объектов.
2. Записываем утверждение: «Все предметы в наборе — фигуры».
3. Для ложного утверждения выбираем свойство «является треугольником»: квадрат в наборе ему не соответствует.

Ответ. Истинно: «Все предметы в наборе — фигуры». Ложно: «Каждая фигура в наборе — треугольник»; квадрат является контрпримером.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать общее утверждение истинным по нескольким подходящим примерам. Её допускают, когда найденные случаи кажутся убедительными, но остальные объекты не проверены. Чтобы проверить себя, сравни число рассмотренных объектов с составом всей группы: для подтверждения утверждения нужно проверить их все.

Вторая ошибка — опровергать фразу со словом «все» несколькими объектами, хотя достаточно одного контрпримера. Иногда кажется, что нужно описать каждый случай, но для опровержения достаточно доказать существование исключения. Проверь себя вопросом: есть ли в группе хотя бы один объект, у которого свойство не выполняется?

Третья ошибка — не уточнять, к какой группе относятся слова «все» или «каждый». Тогда можно случайно проверить не те объекты: например, взять только треугольники, хотя утверждение относится ко всем фигурам. Перед проверкой назови группу вслух или выпиши её элементы, а затем сверяй с ней каждый шаг.

Четвёртая ошибка — путать «каждый» со словом «некоторые». Наличие одного объекта с нужным свойством показывает только, что такой объект есть, но не доказывает, что свойство есть у всех. Чтобы проверить себя, обрати внимание на слово в утверждении: «каждый» требует проверить всю группу, а не найти один подходящий пример.

Связь с другими темами

Для работы с общими утверждениями нужно уметь отличать высказывания от вопросов и просьб, а также определять, истинно высказывание или ложно. Это помогает понять, что именно проверяется и какой результат можно получить. Если фраза не является высказыванием, её нельзя проверить как истинную или ложную.

Проверка слов «все» и «каждый» пригодится при рассуждениях о числах, фигурах и данных: везде важно знать, какие объекты входят в группу и есть ли исключения. Эти умения также нужны при изучении логических условий и алгоритмов. Алгоритм может проверять свойство у каждого элемента набора и действовать по результату проверки.

Что запомнить

• «Все» и «каждый» относятся ко всем объектам выбранной группы.
• Общее утверждение истинно, только если свойство выполняется у каждого объекта группы.
• Для опровержения общего утверждения достаточно одного контрпримера.
• Перед проверкой нужно определить, какие объекты входят в рассматриваемую группу.
• Примеры, подтверждающие утверждение, не заменяют проверку всей группы.