6.1. Отношение отрезков

Определения и обозначения

Отношение длин отрезков — это частное от деления длины одного отрезка на длину другого. Первым считают отрезок, стоящий в числителе, а вторым — стоящий в знаменателе. Такое вычисление нужно, чтобы сравнить размеры отрезков одним числом.

Отношение отрезков AB и CD записывают так: AB/CD или AB:CD. В записи AB/CD длина AB находится в числителе, а длина CD — в знаменателе, поэтому сравнение идёт именно AB с CD. Если поменять буквы местами, изменится и смысл сравнения.

Отношение отрезков — числовая характеристика, показывающая, во сколько раз длина одного отрезка больше или меньше длины другого. Например, значение 2 означает, что первый отрезок вдвое длиннее второго. Это помогает сравнивать отрезки не только по разности, но и по кратности.

Равные отношения отрезков имеют одинаковые значения. Чтобы сравнить такие отношения, достаточно сравнить соответствующие длины и выполнить деление. Если частные совпадают, отношения равны, даже когда сами отрезки имеют другие длины.

Как это устроено

Чтобы найти отношение длин двух отрезков, сначала измеряют оба отрезка. Результаты обязательно переводят в одинаковые единицы, потому что деление должно сравнивать одноимённые величины. Затем длину первого отрезка делят на длину второго: AB/CD = длина AB : длина CD.

Порядок отрезков важен, поскольку числитель и знаменатель выполняют разные роли. Если AB в 3 раза длиннее CD, то AB/CD = 3, а CD/AB = 1/3. При перестановке мы начинаем сравнивать уже другой отрезок с первым, поэтому результат обычно становится обратным.

Отношение не зависит от выбора единиц измерения, если обе длины переведены в одну систему. Например, 20 см : 5 см и 200 мм : 50 мм дают одно и то же значение 4. Единицы сокращаются при делении, поэтому итогом становится число без названия единицы.

Значение отношения показывает результат сравнения. Если оно равно 3, первый отрезок втрое длиннее второго; если равно 1/2, первый отрезок вдвое короче второго. Любое положительное отношение меньше 1 означает, что первый отрезок короче второго.

По известному отношению можно найти неизвестную длину. Если MN/PQ = 3 и известна MN, то PQ находят делением MN на 3, а если известна PQ, то MN находят умножением PQ на 3. Полезно сначала записать равенство с дробью, а затем выбрать действие, обратное расположению неизвестной величины.

Как понимать и вычислять отношение отрезков

В таблице сначала определите, какой отрезок назван первым. Затем посмотрите на значение отношения и выберите действие или вывод из последнего столбца.

Если длины даны в разных единицах, перед использованием таблицы переведите их в одинаковые единицы. Запись 2:5 означает не разность длин, а сравнение двух величин, состоящих из 2 и 5 равных частей.

Разбор задач

Задача 1

Длины отрезков AB и CD равны 8 см и 4 см. Нужно найти отношение AB к CD и объяснить его смысл. Первым назван AB, поэтому его длина будет делимым, а длина CD — делителем.

1. Записываем отношение: AB/CD = 8/4.
2. Выполняем деление: 8 : 4 = 2.
3. Объясняем результат: AB в 2 раза длиннее CD.

Ответ: AB/CD = 2; отрезок AB вдвое длиннее отрезка CD.

Задача 2

Длина MN равна 15 см, а отношение MN к PQ равно 3. Требуется найти PQ. Поскольку MN стоит первым, равенство будет иметь вид 15/PQ = 3.

1. Записываем отношение: 15 : PQ = 3.
2. Умножаем неизвестный знаменатель на 3: 15 = 3 · PQ.
3. Делим 15 на 3: PQ = 5 см.

Ответ: длина PQ равна 5 см. Проверка показывает: 15 : 5 = 3, значит, условие выполнено.

Задача 3

Отношение длин двух отрезков равно 2:5, а их суммарная длина составляет 28 см. Это означает, что первый отрезок состоит из 2 равных частей, а второй — из 5 таких же частей.

1. Находим число частей: 2 + 5 = 7.
2. Находим длину одной части: 28 : 7 = 4 см.
3. Находим первый отрезок: 2 · 4 = 8 см.
4. Находим второй отрезок: 5 · 4 = 20 см.

Ответ: длины отрезков равны 8 см и 20 см. Проверка: 8 : 20 = 2 : 5, а 8 + 20 = 28 см.

Типичные ошибки

Переставляют отрезки в отношении и считают AB/CD и CD/AB одинаковыми. Ошибка появляется, когда забывают о порядке числителя и знаменателя. Проверьте себя: подпишите рядом, какой отрезок сравнивается с каким, и посчитайте оба частных.

Делят длины в разных единицах, например 2 м на 50 см. Так нельзя делать, потому что числа относятся к разным единицам; сначала нужно получить 200 см и 50 см. После вычисления убедитесь, что обе величины имеют одинаковое обозначение.

Считают отношение длиной отрезка и приписывают ему сантиметры. Отношение — это число, поскольку одинаковые единицы при делении сокращаются. Проверьте запись ответа: у отношения не должно быть единицы измерения.

Неверно понимают отношение меньше 1 и думают, что оно означает отрицательную длину. На самом деле длины отрезков положительны, а дробь меньше 1 просто показывает, что первый отрезок короче второго. Сравните числитель и знаменатель: меньшая длина в числителе даёт отношение меньше 1.

Связь с другими темами

До изучения отношения нужно уметь измерять отрезки, сравнивать их длины и переводить единицы измерения. Эти навыки позволяют правильно подготовить данные к делению и избежать ошибок.

Отношения длин используются в задачах на масштаб и пропорциональные отрезки. Позже они помогут понять пропорции и подобные фигуры, где соответствующие стороны имеют одинаковые отношения.

Что запомнить

• Отношение длин двух отрезков — частное от деления первой длины на вторую.
• Порядок отрезков в отношении важен.
• Длины перед делением выражают в одинаковых единицах.
• Отношение длин — число, а не длина.
• Отношение больше 1 означает, что первый отрезок длиннее второго.
• Отношение меньше 1 означает, что первый отрезок короче второго.