§ 6. Отношения в геометрии

Определения и обозначения

Отношение двух величин — частное, которое показывает, во сколько раз одна величина больше другой или какую часть от неё составляет. Его записывают, например, как a:b или a/b, а находят делением первого числа на второе. Отношение нужно, чтобы сравнивать величины не по разнице, а по их соотношению.

Отношение отрезков — отношение длин двух отрезков. Если длины равны a и b, его записывают a:b; перед вычислением обе длины выражают в одинаковых единицах. Отношение не меняется, если обе длины перевести в другую общую единицу, поэтому можно сравнивать отрезки независимо от выбранной меры.

Пропорция — равенство двух отношений, например a:b = c:d. Она показывает, что пары величин соотносятся одинаково. Пропорцию используют, когда известны три величины и нужно найти четвёртую, например неизвестную длину отрезка.

Золотое сечение — деление отрезка на большую и меньшую части так, что отношение всего отрезка к большей части равно отношению большей части к меньшей. Если точка C делит AB, где AC — большая часть, равенство записывают AB:AC = AC:CB. Такое деление нужно отличать от деления пополам: части золотого сечения не равны.

Как это устроено

Пусть один отрезок имеет длину 8 см, а другой — 12 см. Чтобы узнать, во сколько раз второй длиннее первого, делим 12 на 8: получаем 1,5. Значит, второй отрезок в полтора раза длиннее первого; обратное отношение 8:12 = 2:3 показывает, что первый составляет две трети второго. Деление подходит для сравнения, потому что результат сообщает о кратности или доле, а не о числе сантиметров разницы.

Перед делением длины приводят к одинаковым единицам: например, 1 м и 25 см нельзя сравнивать делением чисел 1 и 25. Переведём метр в сантиметры и получим 100 см и 25 см, тогда отношение равно 4. Если обе длины перевести из сантиметров в миллиметры, числа станут в десять раз больше, но частное не изменится: общий множитель сократится. Поэтому отношение характеризует сами длины, а не выбранные единицы измерения.

Деление отрезка в отношении 2:5 означает, что одна часть содержит 2 равные доли, а другая — 5 таких долей. Всего долей 2 + 5 = 7, поэтому сначала общую длину делят на 7 и находят размер одной доли. Затем этот размер умножают отдельно на 2 и на 5. Так отношение задаёт распределение целого, а не готовые длины частей.

Равные отношения объединяют в пропорцию. Например, если длины относятся как 2:3, а первая из них равна 8 см, то для второй длины x можно записать 8: x = 2:3. Это значит, что обе пары сравниваются одним и тем же способом; в пропорции произведение крайних членов равно произведению средних, поэтому 8 × 3 = 2 × x. Находим x = 12 см, а подстановка 8:12 = 2:3 позволяет проверить ответ.

В золотом сечении весь отрезок делят на большую и меньшую части так, чтобы целое относилось к большей части так же, как большая — к меньшей. Приближённо оба отношения равны 1,618; следовательно, большая часть примерно в 1,618 раза длиннее меньшей. При делении пополам обе части равны и отношение целого к каждой части равно 2, а не 1,618. Именно условие равенства двух отношений делает золотое сечение особым способом деления.

Отношения длин и деление отрезка

Сначала найди в таблице нужную ситуацию, а затем проверь, какие именно величины сравниваются. Запись помогает не перепутать порядок чисел и смысл отношения. Для деления целого на части отдельно учитывай сумму чисел отношения.

Разбор задач

Отношение длин отрезков

Условие. Длины двух отрезков равны 8 см и 12 см. Найдите отношение их длин и объясните его смысл. Порядок задан в условии: сначала рассматриваем отрезок длиной 8 см, потом отрезок длиной 12 см. Поэтому записываем отношение именно как 8:12.

1. Запишем отношение длин: 8:12, или 8/12. Оба числа делятся на 4, поэтому отношение можно сократить.
2. Разделим каждую длину на 4: получим 2:3. Это та же пропорция длин, только записанная меньшими числами.
3. Чтобы понять смысл, разделим первую длину на вторую: 8/12 = 2/3. Значит, первый отрезок составляет две трети второго; второй длиннее первого в 1,5 раза.

Ответ: 8:12 = 2:3; первый отрезок составляет две трети второго. Проверка по исходным длинам: 12/8 = 1,5, значит, второй отрезок в полтора раза длиннее первого. Такой ответ учитывает, какой отрезок стоит первым в записи.

Деление отрезка в заданном отношении

Условие. Отрезок длиной 35 см разделён на две части в отношении 2:5. Найдите длину каждой части. Числа 2 и 5 показывают не длины, а количество равных долей в первой и второй частях. Поэтому сначала нужно выяснить, сколько долей составляет весь отрезок.

1. Сложим числа отношения: 2 + 5 = 7. Значит, все 35 см состоят из семи равных долей.
2. Найдём длину одной доли: 35 : 7 = 5 см. Это общий размер каждой из семи долей.
3. Первая часть содержит две доли: 2 × 5 = 10 см. Вторая содержит пять долей: 5 × 5 = 25 см.
4. Проверим результат: 10 + 25 = 35 см, а отношение частей 10:25 сокращается до 2:5.

Ответ: 10 см и 25 см. Сумма частей совпадает с длиной исходного отрезка, а их отношение совпадает с заданным. Обе проверки подтверждают, что части найдены верно.

Золотое сечение

Условие. Большая часть отрезка золотого сечения равна 10 см. Найдите меньшую часть и длину всего отрезка, используя приближение золотого отношения 1,618. Обозначим большую часть через AC, а меньшую — через CB; тогда весь отрезок AB равен AC + CB. По определению золотого сечения AB:AC = AC:CB.

1. По условию AC = 10 см, а отношение AB:AC приблизительно равно 1,618. Поэтому AB ≈ 10 × 1,618 = 16,18 см.
2. Меньшая часть — это разность между всем отрезком и большей частью: CB ≈ 16,18 − 10 = 6,18 см. Она короче большей части, как и должно быть.
3. Проверим второе отношение: AC:CB ≈ 10/6,18 ≈ 1,618. Оно примерно равно AB:AC, следовательно, вычисления согласуются с условием.

Ответ: меньшая часть — примерно 6,18 см, весь отрезок — примерно 16,18 см. Слова «примерно» нужны, потому что число 1,618 — округлённое приближение. Проверка показывает, что отношение целого к большей части и большей части к меньшей почти одинаково.

Типичные ошибки

Ошибка — делить числа длин, записанных в разных единицах, например метры на сантиметры. Её допускают, потому что числа выглядят готовыми к вычислению, но обозначают разные меры. Переведи обе длины в сантиметры или обе в метры, а затем проверь, что единицы одинаковы.

Ошибка — менять числа в отношении местами и считать, что смысл не изменился. Так бывает, когда забывают, какой отрезок сравнивают с каким: 8:12 показывает отношение первого ко второму, а 12:8 — второго к первому. Перед вычислением подпиши величины, а после проверь результат делением в нужном порядке.

Ошибка — считать отношением разность длин. Их путают, потому что и деление, и вычитание сравнивают величины, но отвечают на разные вопросы. Разность 12 − 8 = 4 см показывает, на сколько сантиметров отрезки отличаются, а отношение 12:8 = 1,5 — во сколько раз один длиннее. Проверь себя: у разности есть единицы длины, у отношения одинаковых величин единицы сокращаются.

Ошибка — считать, что при отношении m:n отрезок разделён на столько долей, сколько составляет большее число. Это происходит, если учитывают только одну часть и забывают о второй. Общее число долей равно m + n: например, при 2:5 их семь, а не пять. Проверка простая: числа долей обеих частей вместе должны составлять весь отрезок.

Связь с другими темами

Для вычисления отношений понадобятся деление натуральных чисел и дробей, сокращение дробей и перевод длин в одинаковые единицы. Эти умения помогают правильно записать отношение, упростить его и проверить ответ. Позже отношения и пропорции используются в задачах на масштаб, где длина на плане сопоставляется с реальной длиной, и при изучении подобных фигур. Они также помогают решать задачи на прямую пропорциональность, когда одна величина меняется вместе с другой в одном и том же отношении.

Что запомнить

• Отношение величин находят делением.
• Сравниваемые длины сначала выражают в одинаковых единицах.
• Порядок чисел в отношении имеет значение.
• Отношение длин не меняется при переходе к другой общей единице измерения.
• При делении отрезка в отношении m:n целое состоит из m+n равных долей.
• В золотом сечении отношение целого к большей части равно отношению большей части к меньшей.