6.2. Подобные фигуры

Определения и обозначения

Подобные фигуры — это фигуры одинаковой формы, которые могут отличаться размером. Например, маленькая и большая копии одного и того же рисунка подобны, если рисунок не растянули только в одном направлении. Это понятие помогает сравнивать фигуры, даже когда их стороны имеют разные длины.

Соответствующие элементы — это вершины, стороны и углы, которые сопоставлены друг другу в двух фигурах. Например, если вершина A одной фигуры соответствует вершине A₁ другой, то стороны, выходящие из этих вершин, тоже сопоставляют по их положению. Такое соответствие нужно, чтобы сравнивать именно те стороны и углы, которые занимают одинаковые места.

Подобные многоугольники — многоугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Пропорциональны — значит, отношения длин соответствующих сторон одинаковы. Одного равенства углов недостаточно, поэтому при проверке подобия рассматривают и углы, и стороны.

Коэффициент подобия — отношение длин соответствующих сторон одной фигуры и другой. Если стороны второй фигуры делят на соответствующие стороны первой, полученное число показывает, во сколько раз изменились размеры при переходе от первой фигуры ко второй. Порядок деления нужно указывать точно: при обратном сравнении коэффициент будет обратным.

Как это устроено

Если фигуру увеличить или уменьшить целиком, её форма сохранится: все направления и углы останутся прежними, а длины сторон изменятся одинаково. Например, при увеличении каждой длины в 2 раза прямоугольник 2 см × 3 см станет прямоугольником 4 см × 6 см. Отношения сторон совпадают, потому что 4 : 2 = 6 : 3 = 2. Поэтому такие прямоугольники подобны.

Равные углы сами по себе не гарантируют подобия многоугольников. Углы сообщают, насколько фигура раскрыта в вершинах, но не определяют длины её сторон. Если стороны изменяются по-разному, очертание может стать другим, хотя углы останутся равными. Поэтому нужно проверить, что отношение каждой пары соответствующих сторон одно и то же.

Чтобы найти коэффициент подобия, выбирают пару соответствующих сторон и делят длину той стороны, чью фигуру сравнивают, на длину другой. Например, если сторона второй фигуры равна 10 см, а соответствующая сторона первой — 4 см, то коэффициент второй относительно первой равен 10 : 4 = 2,5. Если неизвестна соответствующая сторона второй фигуры, длину стороны первой умножают на 2,5. Так можно вычислить размер, не измеряя его напрямую.

При увеличении всех сторон в одно и то же число раз во столько же раз увеличивается и периметр. Ведь периметр — это сумма длин сторон, и каждый член этой суммы умножается на один коэффициент. Например, если стороны подобного многоугольника в 3 раза длиннее, то и сумма этих сторон, то есть периметр, в 3 раза больше. Значит, отношение периметров равно отношению соответствующих сторон.

Коэффициент показывает направление изменения, если заранее указать порядок сравнения фигур. При k > 1 стороны второй фигуры длиннее сторон первой, значит, вторая фигура увеличена относительно первой. При 0 < k < 1 они короче, и фигура уменьшена. Например, коэффициент ½ означает, что каждая соответствующая длина стала вдвое меньше.

Как связаны элементы подобных многоугольников

Сначала установи, какие элементы соответствуют друг другу, иначе сравнение будет неверным. Затем проверь углы и отношения сторон. Найденный коэффициент можно использовать для расчёта длин и периметров.

Разбор задач

Задача 1. Два прямоугольника имеют размеры 2 см × 3 см и 4 см × 6 см. Определите, подобны ли они. Сопоставим короткую сторону первого с короткой второго, а длинную — с длинной. Если отношения обеих пар одинаковы, стороны пропорциональны.

1. Запишем отношения соответствующих сторон: 4 : 2 = 2 и 6 : 3 = 2. В обоих случаях получили одно число. У прямоугольников также равны соответствующие углы, поскольку все их углы прямые.
2. Проверим оба условия подобия: углы равны, отношения сторон одинаковы. Значит, форма сохранена, а второй прямоугольник увеличен в 2 раза. Важно было сопоставить короткие стороны между собой, а длинные — между собой.

Ответ: прямоугольники подобны, коэффициент второго относительно первого равен 2. Задача 2. Стороны двух подобных треугольников, соответствующие друг другу, равны 4 см и 10 см. Найдите коэффициент подобия второго треугольника относительно первого. Здесь числителем должна быть сторона второго треугольника, потому что именно его сравнивают с первым.

1. Запишем отношение: сторона второго треугольника / соответствующая сторона первого. Подставим значения: 10 : 4 = 2,5. Единицы измерения сокращаются, поэтому коэффициент не имеет единицы длины.
2. Проверим порядок: длина второго треугольника стоит сверху, а первого — снизу. Полученный коэффициент больше 1, значит, второй треугольник увеличен относительно первого. При сравнении первого со вторым мы получили бы обратное число.

Ответ: коэффициент подобия второго треугольника относительно первого равен 2,5. Задача 3. Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Сторона меньшего равна 9 см. Найдите соответствующую сторону большего. Отношение периметров задано в порядке «меньший к большему», поэтому длину большей стороны найдём умножением на 5/3.

1. Для подобных многоугольников отношение соответствующих сторон равно отношению периметров. Значит, сторона меньшего относится к стороне большего как 3:5. Число 3 соответствует 9 см, а число 5 — искомой длине.
2. Найдём, чему равна одна доля: 9 : 3 = 3 см. Большая сторона составляет пять таких долей, поэтому 3 · 5 = 15 см. Проверка: 9 : 15 = 3 : 5.

Ответ: соответствующая сторона большего многоугольника равна 15 см. Отношение периметров здесь использовано как коэффициент изменения длин. Оно подходит, потому что многоугольники подобны.

Типичные ошибки

Ошибка: считать фигуры подобными только потому, что они выглядят похоже. Такое впечатление может быть обманчивым, если не совпадают углы или стороны изменены в разное число раз. Чтобы проверить себя, сравни соответствующие углы и вычисли отношения нескольких пар сторон. Все нужные условия должны выполняться.

Ошибка: сопоставлять стороны в неверном порядке. Тогда сравниваются длины, которые занимают в фигурах разные места, и отношения могут оказаться разными. Сначала найди соответствующие вершины, затем проследи, какие стороны соединяют эти вершины. Полезно подписать пары сторон до вычислений.

Ошибка: переворачивать отношение сторон и не замечать, какую фигуру считают увеличенной. Это меняет коэффициент на обратный, например 2 превращается в ½. Перед делением проговори: «длина какой фигуры делится на длину какой». Проверь результат: при увеличении коэффициент должен быть больше 1.

Ошибка: путать подобие с равенством фигур. Подобные фигуры могут иметь разные размеры, а равные фигуры имеют одинаковые размеры и форму. Их стороны могут быть пропорциональны с коэффициентом, отличным от 1. Проверь длины: если соответствующие стороны различаются, фигуры не равны, хотя могут быть подобны.

Связь с другими темами

Для работы с подобием пригодятся знания об углах и сторонах многоугольников: они помогают находить соответствующие элементы. Также нужно уметь сравнивать числа и составлять пропорции, то есть равенства отношений. Эти навыки позволяют проверить подобие и вычислить неизвестную длину.

Подобие используют при работе с масштабом, планами и картами. На изображении расстояния уменьшены в одинаковое число раз, поэтому по известному масштабу можно определить реальные размеры. Тот же способ помогает находить неизвестные длины фигур, если известны соответствующие стороны.

Что запомнить

• Подобные фигуры имеют одинаковую форму, но могут иметь разные размеры.
• У подобных многоугольников соответствующие углы равны.
• Соответствующие стороны подобных многоугольников пропорциональны.
• Коэффициент подобия равен отношению длин соответствующих сторон.
• При коэффициенте больше 1 фигура увеличивается, а при коэффициенте меньше 1 — уменьшается.
• Периметры подобных многоугольников относятся как соответствующие стороны.