"Математика. Наглядная геометрия", Ходот Т.Г., Ходот А.Ю.
Масштаб показывает, во сколько раз расстояние на карте, плане или чертеже уменьшено по сравнению с настоящим. Он помогает по длине отрезка на изображении находить реальное расстояние, а по известному расстоянию — определять длину изображения. Масштаб записывают числом, словами или изображают отрезком с делениями. Чтобы вычисления были верными, обе длины сначала выражают в одинаковых единицах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Масштаб — это отношение длины на изображении к соответствующей действительной длине, записанное в одинаковых единицах. Например, сравнивают сантиметры с сантиметрами, а не сантиметры с километрами. Масштаб нужен, чтобы связывать расстояния на карте или плане с настоящими расстояниями.
Численный масштаб записывают в виде 1:100 000. Это означает, что одной единице длины на карте соответствуют 100 000 таких же единиц на местности. Такая запись удобна для вычислений, потому что сразу показывает, во сколько раз изображение меньше.
Именованный масштаб словами показывает, какое расстояние на местности соответствует единице на изображении. Например, запись «в 1 см — 1 км» означает, что каждому сантиметру на карте соответствует километр в действительности. С ней легче представить реальный смысл численного масштаба.
Линейный масштаб — это изображённый отрезок с делениями и подписями расстояний. С его помощью можно измерить расстояние непосредственно: длину на карте соотносят с делениями отрезка. Такой способ удобен, когда не хочется выполнять вычисления по численному масштабу.
Масштаб сравнивает две длины, поэтому обе нужно сначала выразить в одинаковых единицах. Иначе отношение будет неверным: сантиметр и километр — разные по величине единицы, хотя оба обозначают длину. Например, чтобы сравнить 1 см на карте и 1 км на местности, километр переводят в сантиметры: 1 км = 100 000 см.
Запись 1:n читают так: одной единице на изображении соответствуют n единиц в действительности. Поэтому настоящая длина в n раз больше изображённой, а изображённая — в n раз меньше настоящей. Например, при масштабе 1:100 отрезок длиной 1 см на плане соответствует 100 см в действительности.
Чтобы найти расстояние на местности по карте, длину отрезка на карте умножают на n. Умножение нужно потому, что каждая единица изображения заменяет n таких единиц в действительности. Например, 3 см на карте масштаба 1:100 соответствуют 3 × 100 = 300 см на местности.
Для обратного расчёта действительное расстояние делят на n. Так мы выясняем, сколько раз длина изображения меньше настоящей длины. Например, если в действительности расстояние равно 300 см, а масштаб 1:100, на плане оно займёт 300 : 100 = 3 см.
Численный масштаб переводят в именованный, сначала выбрав единицу для карты и выразив расстояние на местности в той же единице, а затем при необходимости переводя его в более удобную. Например, 1:100 000 даёт 1 см — 100 000 см; поскольку 100 000 см = 1 км, именованный масштаб будет 1 см — 1 км. В обратную сторону именованное соответствие переводят в одинаковые единицы и записывают отношением, сокращая его до 1:n. Линейным масштабом пользуются иначе: прикладывают измеренное расстояние к отрезку с делениями и считывают соответствующую отметку.
| Форма масштаба | Как записывается | Что показывает | Как использовать |
|---|---|---|---|
| Численный масштаб | 1:100 000 | Во сколько раз длина на карте меньше действительной | Умножить длину на карте на знаменатель или разделить действительную длину на него |
| Именованный масштаб | В 1 см — 1 км | Какому расстоянию на местности соответствует единица на карте | Использовать указанное соответствие для расчёта расстояний |
| Линейный масштаб | Отрезок с делениями и подписями | Расстояния, которым соответствуют деления отрезка | Измерить отрезок на карте и сопоставить его с делениями |
Сначала определи, какая форма масштаба дана: от этого зависит, нужно ли считать или достаточно измерить по делениям. В численном и именованном масштабе проверяй единицы, а при работе с линейным точно совмещай начало измеряемого отрезка с отметкой.
На плане с масштабом 1:100 длина отрезка равна 5 см. Найти действительную длину. Нужно перейти от изображения к настоящему расстоянию, поэтому длину на плане умножаем на 100.
Ответ: действительная длина равна 500 см, или 5 м. Перевод в метры не меняет длину, а только выражает её в более удобных единицах. Проверить результат можно так: настоящий отрезок должен быть в 100 раз длиннее отрезка на плане.
Расстояние между городами на карте масштаба 1:2 000 000 равно 3,5 см. Найти расстояние на местности в километрах. Масштаб связывает сантиметры карты с сантиметрами местности, поэтому сначала умножаем, а затем переводим единицы.
Ответ: расстояние между городами равно 70 км. Перед переводом важно записать промежуточный результат именно в сантиметрах, потому что в численном масштабе единицы с обеих сторон одинаковые. Затем сантиметры переводятся в километры делением на 100 000.
На плане расстояние 240 м изображено отрезком длиной 6 см. Определить численный и именованный масштабы. Для численного масштаба обе длины выразим в одинаковых единицах, а затем сократим полученное отношение.
Ответ: численный масштаб — 1:4 000, именованный — в 1 см — 40 м. Проверка: 6 см на плане соответствуют 6 × 40 = 240 м. Значит, найденное соответствие совпадает с условием.
Нельзя составлять отношение из длин в разных единицах, например из сантиметров на плане и метров на местности. Такая ошибка возникает, когда забывают, что численный масштаб сравнивает одинаковые единицы. Перед вычислением переведи обе длины в сантиметры, метры или другую общую единицу.
При переходе от изображения к действительности умножают на знаменатель, а при обратном переходе делят. Иногда действия путают, потому что не определяют, какую длину требуется найти. Проверь направление: настоящее расстояние должно быть больше длины на плане, а значит, при масштабе 1:n его получают умножением.
Запись 1:100 не означает, что на изображении находится 100 единиц. Она говорит, что каждой единице на изображении соответствуют 100 единиц в действительности. Чтобы не перепутать стороны отношения, прочитай запись словами: одна единица на карте — сто таких же единиц на местности.
Даже верно выполненное умножение не гарантирует правильный ответ, если забыть о требуемых единицах. Такая ошибка часто появляется на последнем шаге, когда сантиметры нужно перевести в метры или километры. Проверь обозначение рядом с ответом и используй равенства 100 см = 1 м, 1 000 м = 1 км.
Перед работой с масштабом нужно уметь измерять длины и переводить единицы: миллиметры, сантиметры, метры и километры. Эти навыки помогают верно составить отношение и понять, в каких единицах записан результат. Если перевод единиц вызывает затруднение, сначала выполни его отдельно, а уже потом используй масштаб.
Масштаб применяют при чтении географических карт, планов помещений и чертежей. Он также связан с отношением и пропорцией: каждому расстоянию на изображении соответствует определённое расстояние в действительности. Поэтому задачи на масштаб помогают тренироваться находить неизвестный член отношения.
Что означает масштаб 1:100 000?
Одной единице длины на карте соответствуют 100 000 таких же единиц на местности. Например, 1 см на карте означает 100 000 см, то есть 1 км на местности.
Почему перед вычислением нужно переводить расстояния в одинаковые единицы?
Масштаб — это отношение двух длин, поэтому сравнивать их можно, только если они выражены в одинаковых единицах. Например, 6 см и 240 м сначала нужно записать как 6 см и 24 000 см.
Как по карте определить настоящее расстояние между объектами?
Измерь расстояние на карте и умножь его на знаменатель численного масштаба. Затем переведи результат в подходящие единицы, например из сантиметров в километры.
Как найти масштаб плана, если известны реальные расстояния?
Запиши длину на плане и соответствующую действительную длину в одинаковых единицах. Составь их отношение и сократи его так, чтобы первая часть стала равна 1: получится численный масштаб 1:n.
Чем линейный масштаб отличается от численного?
Численный масштаб записывают отношением, например 1:100 000. Линейный изображают отрезком с делениями: по нему расстояние можно измерять непосредственно, соотнося его с отметками.
6.3. Масштаб
