"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Числа помогают считать, измерять величины и описывать результаты наблюдений. По мере решения задач нужны всё более широкие числовые множества: от натуральных чисел для счёта до действительных, включающих рациональные и иррациональные числа. Чтобы вычисления были верными, нужно знать правила действий с дробями и отрицательными числами, соблюдать порядок операций и понимать, от какой величины считают проценты. Эти знания пригодятся в уравнениях, измерениях и денежных расчётах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральное число — положительное целое число, используемое при счёте: 1, 2, 3 и так далее. Множество натуральных чисел обозначают ℕ. Включают ли в него ноль, зависит от принятого соглашения, поэтому в задаче нужно проверять данное определение.
Целое число — натуральное число, противоположное ему число или ноль; множество целых чисел обозначают ℤ. Например, для 5 противоположным числом будет −5. На координатной прямой числа располагаются по порядку: отрицательные слева от нуля, положительные справа.
Рациональное число — число, которое можно представить дробью m/n, где m и n — целые числа, n ≠ 0. Множество рациональных чисел обозначают ℚ. Такая запись помогает выразить целые числа, обыкновенные дроби и десятичные дроби, если их запись конечна или периодична.
Иррациональное число нельзя представить дробью m/n с целыми m и n, где n ≠ 0; пример — √2. Его десятичная запись бесконечна и не имеет повторяющегося периода. Действительные числа, обозначаемые ℝ, объединяют рациональные и иррациональные числа, поэтому на числовой прямой каждому действительному числу соответствует точка.
Числовые множества расширяют, когда прежних чисел не хватает для решения новых задач. Натуральных чисел достаточно, чтобы считать предметы, но разность 3 − 5 уже не является натуральным числом. Целые числа позволяют записать −2, а дробь ½ нужна, чтобы выразить часть целого. Рациональных чисел тоже недостаточно для записи некоторых величин, например длины диагонали квадрата со стороной 1, равной √2; поэтому рассматривают иррациональные числа, а объединение двух последних множеств называют действительными числами.
Единый порядок действий нужен, чтобы одно выражение имело один и тот же результат у всех, кто его вычисляет. Сначала выполняют действия в скобках, потому что скобки выделяют часть выражения, которую нужно рассчитать как целое. Затем находят степени и корни, после них выполняют умножение и деление слева направо, а в конце — сложение и вычитание в том же порядке. Если действия одного уровня стоят рядом, например умножение и деление, нельзя произвольно выбирать, какое выполнить первым.
При сложении чисел одинаковых знаков складывают их модули и сохраняют общий знак. Если знаки разные, вычитают меньший модуль из большего и ставят знак числа с большим модулем: например, −8 + 3 = −5. Вычитание заменяют сложением противоположного числа: 4 − (−2) = 4 + 2. При умножении и делении действует отдельное правило знаков: одинаковые знаки дают положительный результат, разные — отрицательный; это правило нельзя подменять правилом сложения.
Обыкновенная дробь показывает отношение числителя к знаменателю, а десятичная запись — другой способ представить то же число. Например, ¼ = 0,25, поэтому умножение этой дроби на 100 даёт 25%. Процент означает одну сотую: 15% = 15/100 = 0,15. Отношение двух величин можно записать дробью, десятичным числом или, если удобно, процентом; при переходе важно сохранять смысл величин и единицы измерения.
Степень позволяет кратко записать повторное умножение: 3² = 3 · 3, а корень помогает найти число, которое при возведении в указанную степень даёт подкоренное число. Делимость помогает упрощать дроби и проверять, делится ли одно целое число на другое без остатка. В точных вычислениях сохраняют точное значение, например √2, а в приближённых заменяют его округлённым числом, например 1,41. Округление упрощает расчёты, но вносит погрешность, поэтому точность выбирают с учётом задачи.
В таблице собраны основные множества и признаки чисел, которые к ним относятся. Чтобы найти наименьшее подходящее множество, проверь, нельзя ли представить число более простым способом: например, целое число одновременно рационально, но его наименьшее множество — целые числа. Столбец об особенностях записи помогает распознавать числа по виду.
| Числовое множество | Обозначение | Какие числа входят | Пример | Особенности записи |
|---|---|---|---|---|
| Натуральные числа | ℕ | Положительные целые числа для счёта | 1, 2, 3 | Включение 0 зависит от соглашения |
| Целые числа | ℤ | Натуральные, противоположные им числа и 0 | −7, 0, 4 | Не содержат дробных частей |
| Рациональные числа | ℚ | Числа вида m/n, где m, n ∈ ℤ и n ≠ 0 | 3/5, −2, 0,125 | Десятичная запись конечная или периодическая |
| Иррациональные числа | Подмножество ℝ | Действительные числа, не представимые дробью m/n | √2, π | Запись бесконечна и непериодична |
| Действительные числа | ℝ | Рациональные и иррациональные числа | −3, ½, √2 | Каждому числу соответствует точка прямой |
Задача 1. Распределить числа −7, 0, 3/5, 2, 0,125, √2 и 3,14(6) по множествам и назвать наименьшее множество для каждого. Нужно проверить, является ли число целым или его можно записать дробью; запись 3,14(6) означает повторение цифры 6.
Ответ: −7 и 0 — целые; 3/5, 0,125 и 3,14(6) — рациональные; 2 — натуральное; √2 — иррациональное. Все перечисленные числа действительные, но наименьшее множество для каждого указано отдельно.
Задача 2. Вычислить −3,6 + 2·(5 − 7,5)² : 5 и записать результат в стандартном виде. Сначала важно выделить скобки и степень, а затем не забыть, что умножение и деление выполняются раньше сложения. Знак результата удобно проверять по промежуточным значениям.
Ответ: −1,1. Это число уже записано в обычном десятичном виде; если под стандартным видом понимается десятичная запись, дополнительных преобразований не требуется.
Задача 3. Покупка стоит 2400 рублей. Сначала дают скидку 15%, затем на новую стоимость начисляют налог 10%. Найти итоговую цену и процент её отличия от первоначальной. Нельзя вычитать 15% и прибавлять 10% как проценты от одной и той же суммы: налог считают уже после скидки.
Ответ: 2244 рубля; итоговая цена на 6,5% ниже первоначальной. Проверка: 15% скидки равны 360 рублям, а налог меньше, потому что начислен на уменьшенную цену.
Считать ноль натуральным числом без проверки соглашения — ошибка, потому что в разных определениях множество ℕ может начинаться с 0 или с 1. Её допускают, перенося привычное правило из другой книги или задачи. Проверь определение в условии и при необходимости явно укажи, какое соглашение используешь.
Складывать дроби сложением числителей и знаменателей нельзя: например, ½ + ⅓ не равно 2/5. Части в этих дробях разного размера, поэтому сначала нужен общий знаменатель, который задаёт одинаковые доли. Проверить себя можно на простом примере: ½ + ½ должно равняться 1, а не 2/4, если результат не сокращён, или тем более 2/2 по ошибочному правилу.
Вычислять сложное выражение слева направо, не учитывая приоритет операций, неправильно, поскольку умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания. Такую ошибку вызывают привычка считать по порядку записи и невнимательность к скобкам. Перед вычислениями отметь скобки, степени, умножение и деление, затем сложение и вычитание; в конце оцени, разумен ли ответ.
При умножении или делении отрицательных чисел нельзя пользоваться правилом знаков сложения. Например, (−3) · (−2) = 6, а не −5: одинаковые знаки при умножении дают плюс. Ошибка появляется, когда правило одной операции переносят на другую. Проверь пару знаков отдельно от модулей: одинаковые дают положительный результат, разные — отрицательный.
До изучения темы полезно уверенно знать таблицу сложения и умножения, свойства арифметических действий, обыкновенные и десятичные дроби, а также понимать координатную прямую. Числа и правила вычислений понадобятся дальше при решении уравнений, изучении функций, процентов, пропорций, степеней и корней. В повседневной жизни они помогают рассчитывать стоимость покупок, выполнять измерения, оценивать погрешность и обрабатывать числовые данные.
Является ли ноль натуральным числом?
Это зависит от принятого соглашения: в одних учебниках натуральные числа начинаются с 1, в других к ним относят и 0. Поэтому при решении задачи ориентируйся на определение, данное в учебнике или условии.
Чем рациональное число отличается от иррационального?
Рациональное число можно записать дробью m/n, где m и n — целые числа, а n ≠ 0. Его десятичная запись конечна или периодична. Иррациональное число такой дробью представить нельзя, а его десятичная запись бесконечна и непериодична.
Почему нельзя складывать числители и знаменатели дробей отдельно?
Знаменатель показывает, на сколько равных частей разделена единица, поэтому у слагаемых должны быть одинаковые знаменатели. Сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем складывают их числители. Например, ½ + ⅓ = 3/6 + 2/6 = 5/6.
Как не перепутать порядок действий в сложном выражении?
Сначала вычисляй выражения в скобках, затем степени и корни, после этого умножение и деление, а в конце сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняй слева направо. Перед вычислением полезно отметить порядок действий.
Почему последовательная скидка и наценка не дают простую сумму процентов?
Каждый процент считают от текущей цены, а после скидки она уже отличается от первоначальной. Поэтому 10% наценки начисляются не на исходную сумму, а на цену со скидкой. Нужно применять изменения по очереди, а итог сравнить с первоначальной ценой.
Числа и вычисления
