Сравнение чисел

Определения и обозначения

Сравнение чисел — это установление того, какое из двух чисел больше, или того, что они равны. Оно нужно, чтобы упорядочивать значения и выбирать большее или меньшее в задаче. Например, сравнивая 5 и 8, мы выясняем, что 5 меньше 8. Если числа равны, сравнение записывают знаком =.

Знаки сравнения < и > записывают соответственно отношения «меньше» и «больше». Вершина знака направлена к меньшему числу, а раскрытая сторона — к большему. Поэтому запись 2 < 6 читают «два меньше шести». Это правило помогает не перепутать направление знака.

Числовое неравенство — запись сравнения чисел с помощью знаков <, >, ≤ или ≥. Знаки ≤ и ≥ означают соответственно «меньше или равно» и «больше или равно». Неравенство показывает порядок чисел, а иногда допускает и равенство. Такие записи используют, например, чтобы указать, каким значениям может удовлетворять величина.

Числовая прямая — способ расположить числа так, что большему числу соответствует точка правее. На ней числа упорядочены слева направо, поэтому положение точек позволяет сравнить значения. Это особенно удобно для отрицательных чисел: чем точка правее, тем число больше. Прямая помогает представить порядок, а не полагаться только на внешний вид записи.

Как это устроено

На числовой прямой числа возрастают слева направо, поэтому сравнение можно свести к расположению соответствующих точек. Если точка одного числа находится правее точки другого, первое число больше. Например, 2 расположено правее −1, значит, 2 > −1. Так расположение превращается в наглядное правило порядка.

Числа разных знаков сравнивать просто: любое положительное число больше любого отрицательного. На прямой ноль разделяет их: положительные числа находятся справа от нуля, отрицательные — слева. Поэтому какая бы точка слева от нуля ни встретилась, любая точка справа будет правее неё. Например, 1 > −100.

У отрицательных чисел знак минус меняет привычный порядок модулей. Чем больше расстояние отрицательного числа от нуля, тем левее оно расположено, а значит, тем оно меньше. Поэтому −4 > −9: число −4 ближе к нулю. Можно представить движение по прямой: от −9 до −4 мы идём вправо, то есть к большему числу.

Дроби и десятичные числа сравнивают, сопоставляя их значения в одинаковом или удобном виде. Для обыкновенных дробей можно найти общий знаменатель, чтобы сравнить числители; иногда проще превратить дробь в десятичную. Например, 5/8 = 0,625, поэтому это число больше 0,6. Выбор способа не меняет значения чисел, а лишь делает их сравнение понятнее.

Проверяя неравенство, прочитайте его слева направо и произнесите знак словами. Запись 4 < 9 должна читаться «четыре меньше девяти», и это верно. Если знак не соответствует словам, проверьте, не перепутана ли его вершина. Для чисел, которые удобно отметить на прямой, можно дополнительно убедиться, что меньшее находится левее.

Числа располагаются по возрастанию слева направо. Точка правее соответствует большему числу.

Сравнение чисел разных видов

Выберите строку по тому, какие числа даны в задаче, а затем примените указанный способ. В примерах знак сравнения уже записан в правильном направлении. Для дробей или десятичных чисел сначала приведите записи к виду, в котором их удобно сопоставлять.

Разбор задач

Задача. Сравните 7 и 12 и запишите результат с помощью знака. Нужно сначала установить порядок чисел, а потом выбрать знак, вершина которого обращена к меньшему значению. Здесь оба числа положительные, поэтому сравним их обычным способом. Проверим результат чтением слева направо.

1. Сопоставим числа: 7 меньше 12, потому что при счёте 7 встречается раньше 12.
2. Меньшее число 7 поставим слева, а большее 12 — справа.
3. Выберем знак <: его вершина смотрит к 7, а раскрытая сторона — к 12.

Ответ: 7 < 12. Если прочитать запись словами, получится «семь меньше двенадцати», то есть верное утверждение. Такая проверка помогает сразу заметить неверно направленный знак.

Задача. Сравните −4 и −9, объяснив ответ с помощью числовой прямой. Оба числа отрицательные, поэтому рассуждение «9 больше 4» само по себе не определяет ответ. Отметим числа относительно нуля. Их положение покажет, какое число находится правее.

1. На числовой прямой −9 находится левее −4, поскольку −9 дальше от нуля в отрицательную сторону.
2. Точка −4 расположена правее точки −9, а правее на прямой — значит больше.
3. Запишем большее число справа: −4 > −9.

Ответ: −4 > −9. Это можно проверить по расстоянию до нуля: −4 ближе к нулю, чем −9. При сравнении отрицательных чисел именно близость к нулю помогает не перепутать порядок.

Задача. Сравните 5/8 и 0,6 и запишите неравенство. Записи имеют разный вид, поэтому сначала представим числа в сопоставимой форме. Десятичную дробь можно записать как 0,600, а обыкновенную — перевести в десятичную. Затем сравним получившиеся значения.

1. Разделим 5 на 8: получим 0,625.
2. Запишем десятичное число с тем же числом разрядов: 0,6 = 0,600.
3. Сравним разряды: десятые и сотые совпадают, а в тысячных 5 больше 0, поэтому 0,625 > 0,600.

Ответ: 5/8 > 0,6. При проверке можно помнить, что 0,625 больше 0,6 на 0,025. Перевод в десятичную форму здесь удобен, потому что после него значения сравниваются по разрядам.

Типичные ошибки

Иногда знак направляют вершиной к большему числу. Так происходит, когда смотрят на знак как на стрелку и забывают, что означает его раскрытая сторона. Проверьте запись чтением: в 3 < 8 вершина обращена к 3, меньшему числу. Раскрытая сторона смотрит на 8.

Ошибка «−9 больше −4, потому что 9 больше 4» возникает из-за сравнения чисел без учёта минуса. На прямой −9 находится левее −4, значит, оно меньше. Чтобы проверить себя, представьте расстояние от нуля: −4 ближе, а значит, больше. Не переносите порядок положительных чисел на отрицательные без изменения.

Сравнивать дроби только по числителям или только по знаменателям нельзя: эти части по отдельности не показывают значение дроби. Например, большой числитель не всегда означает большую дробь, если знаменатели различаются. Приведите дроби к общему знаменателю или преобразуйте их в десятичные числа. После преобразования сравните значения целиком.

Количество цифр после запятой само по себе не определяет, какая десятичная дробь больше. Дополнительные цифры могут быть нулями и не менять значение: 0,6 = 0,60. Сопоставляйте одинаковые разряды слева направо, при необходимости дописывая нули в конце. Проверка на примере 0,6 и 0,62 показывает, что 0,60 меньше 0,62.

Связь с другими темами

Чтобы сравнивать числа на прямой, нужно знать, где расположены положительные числа, отрицательные числа и ноль. Эти сведения помогают понять, почему любое положительное число больше отрицательного, а среди отрицательных больше то, которое ближе к нулю. Сравнение также используют при решении неравенств и при выборе большего или меньшего значения в задаче. Для сравнения обыкновенных дробей нужны навыки их преобразования, а для десятичных — понимание разрядов. Чем увереннее вы применяете эти знания, тем проще выбрать подходящий способ сравнения.

Что запомнить

• На числовой прямой большее число расположено правее.
• Положительное число больше любого отрицательного.
• Из двух отрицательных чисел больше то, которое ближе к нулю.
• Знак < читают «меньше», знак > — «больше».
• Вершина знака сравнения направлена к меньшему числу.
• Равные числа обозначают знаком =.