"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Величины описывают свойства предметов и явлений: длину, площадь, массу, время, скорость и другие. Чтобы сравнить такие свойства или выполнить с ними вычисления, величины измеряют — сопоставляют с выбранной единицей. Результат записывают числом и названием единицы: например, 3 м или 5 с. От выбора единицы зависит числовое значение, но не сама величина. Умение переводить единицы и работать с однородными величинами помогает решать практические задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Измерение величины — сравнение величины с принятой единицей и определение, сколько раз единица в ней содержится. Например, измеряя отрезок линейкой, мы выясняем, сколько сантиметров укладывается в его длине. Это позволяет не просто описать предмет словами, а получить результат, который можно записать и сравнить с другими результатами.
Единица измерения — установленная мера, с которой сравнивают величины одного вида. Для длины такой единицей может быть метр, для времени — секунда, для массы — килограмм. Единица служит общим ориентиром: благодаря ей результаты измерений разных людей можно сопоставлять.
Числовое значение величины — число, показывающее, сколько единиц измерения содержится в данной величине. Например, в записи 7 кг число 7 означает, что масса равна семи килограммам. Само число без единицы обычно не сообщает, о какой именно величине идёт речь и какова её величина.
Однородные величины — величины одного вида, которые можно сравнивать, складывать и вычитать. Например, длина 2 м и длина 40 см однородны, а длина и масса — нет. Это понятие помогает определить, какие действия имеют смысл: можно найти общую длину двух отрезков, но нельзя осмысленно сложить метры и килограммы.
Результат измерения записывают числом вместе с названием единицы, потому что число зависит от того, какую меру выбрали. Например, длина 1 м равна 100 см: число изменилось, хотя отрезок остался тем же. Запись только «100» не говорит, имеются ли в виду сантиметры, метры или другая единица, поэтому единицу нельзя опускать.
Чтобы сравнить однородные величины, сначала выражают их в одной единице, а затем сравнивают числовые значения. Так мы сопоставляем одинаковые по смыслу части: сантиметры с сантиметрами, а не сантиметры с метрами. Если сравнить числа до перевода, можно ошибиться, потому что меньшее число иногда обозначает большую величину, например 2 м больше 150 см.
Выбор единицы меняет числовое значение, но не саму величину: один и тот же отрезок можно измерить метрами, сантиметрами или миллиметрами. В метрах его числовое значение будет меньше, чем в сантиметрах, потому что метр крупнее. Это похоже на то, как одно и то же количество можно выразить разными способами: меняется запись, а не длина отрезка.
Крупные и мелкие единицы связаны тем, сколько меньших единиц помещается в одной крупной. Например, 1 км = 1000 м, поэтому при переводе километров в метры значение умножают на 1000. При переходе к меньшей единице число увеличивается, а при переходе к большей уменьшается: 300 см = 3 м. Для площади и объёма соотношения возводят в квадрат или куб, поскольку измеряют квадратные и кубические единицы.
Складывать, вычитать и сравнивать можно только однородные величины: обе должны описывать один и тот же вид свойства. Если единицы различаются, их сначала приводят к общей единице, иначе вычисление будет неудобным или приведёт к ошибке. Результат сложения или вычитания сохраняет вид исходных величин: сумма длин остаётся длиной и выражается, например, в сантиметрах.
| Величина | Основная единица | Примеры других единиц | Связи между единицами | Где применяется |
|---|---|---|---|---|
| Длина | метр (м) | миллиметр (мм), сантиметр (см), километр (км) | 1 м = 100 см; 1 км = 1000 м | Расстояния, размеры предметов |
| Площадь | квадратный метр (м²) | см², дм², км², гектар | 1 м² = 10 000 см²; 1 га = 10 000 м² | Площадь комнат, участков, территорий |
| Объём | кубический метр (м³) | см³, дм³, литр | 1 м³ = 1000 дм³; 1 дм³ = 1 л | Вместимость сосудов, объём тел |
| Масса | килограмм (кг) | миллиграмм (мг), грамм (г), тонна (т) | 1 кг = 1000 г; 1 т = 1000 кг | Масса продуктов, грузов, предметов |
| Время | секунда (с) | минута (мин), час (ч), сутки | 1 мин = 60 с; 1 ч = 60 мин | Длительность событий, измерение промежутков |
| Скорость | метр в секунду (м/с) | километр в час (км/ч) | 1 м/с = 3,6 км/ч | Движение людей, транспорта и объектов |
Пользуйся таблицей, чтобы выбрать единицы, подходящие к условию задачи, и вспомнить их соотношения. Перед вычислениями проверь, приведены ли величины к одной единице. Для площади и объёма отдельно учитывай, что переводятся квадратные или кубические единицы.
Сравнивать удобнее, когда обе длины выражены в одинаковых единицах. Переведём составную величину в сантиметры: в одном метре 100 сантиметров. После перевода останется сравнить два числа с одинаковым наименованием единицы.
Ответ: 3 м 8 см = 308 см. Равенство получилось потому, что записи обозначают одну и ту же длину.
В выражении встречаются метры, дециметры и сантиметры, поэтому сначала выберем одну единицу для всех величин. Возьмём сантиметры: так удобно преобразовать каждую часть и выполнить действия с целыми числами. Затем можно вернуть результат к составной записи в метрах и сантиметрах.
Ответ: 368 см, или 3 м 68 см. Проверка: сложение увеличило длину, а вычитание уменьшило её; итог выражен в единицах длины.
Скорость показывает, какой путь объект проходит за единицу времени. Чтобы найти среднюю скорость, разделим весь путь на всё время движения. Сначала получим результат в километрах в час, а затем переведём его в метры в секунду.
Ответ: средняя скорость автомобиля равна 16 ⅔ м/с. Единица м/с показывает, сколько метров автомобиль в среднем проходил за одну секунду.
Сравнивают числа с разными единицами, например 3 м и 80 см, как будто сравниваются просто 3 и 80. Так делают, когда не замечают, что единицы задают разный размер частей. Перед сравнением переведи обе величины в одну единицу и проверь, что сравниваешь именно числовые значения после перевода.
При переводе выбирают неверное направление или коэффициент: например, умножают при переходе к большей единице. Ошибка возникает, если не определить, сколько меньших единиц составляет одну большую. Проверь направление на простом примере: 1 м = 100 см, значит, 2 м должны дать большее число сантиметров, а 200 см — меньшее число метров.
Складывают величины разных видов, например метры и квадратные метры, потому что воспринимают записи только как числа. Но метры описывают длину, а квадратные метры — площадь, поэтому это не однородные величины. Перед действием назови вид каждой величины и убедись, что обе относятся к одному виду.
Забывают указать единицу в ответе или приписывают результату неподходящую единицу. Обычно это происходит, когда после вычисления внимание сосредоточено только на числе. Проверь, на какой вопрос отвечала задача, и запиши единицу искомой величины: длину — в единицах длины, время — во времени, скорость — в единицах скорости.
Для работы с величинами нужны натуральные и дробные числа, действия с ними и умение умножать или делить на 10, 100 и 1000. Эти навыки помогают выполнять переводы между единицами, а чтение именованных чисел позволяет правильно понимать записи вроде 2 м 35 см. Тема пригодится в текстовых задачах на длину, площадь, объём, массу, время и скорость. Такие же умения используются при расчётах стоимости, когда сравнивают цены за разные количества товара.
Почему нельзя сравнивать величины только по числам?
Потому что числа могут относиться к разным единицам: 3 м и 80 см нельзя сравнить как 3 и 80. Сначала вырази обе величины в одной единице, а затем сравни числа.
Как понять, на что умножать или делить при переводе единиц?
Посмотри, сколько меньших единиц содержится в одной большей: например, 1 м = 100 см. При переходе к меньшей единице умножай на это число, а при переходе к большей — дели.
Можно ли складывать величины, записанные в разных единицах?
Можно, если это однородные величины, например метры и сантиметры. Перед сложением переведи их в одну единицу, выполни действие и укажи единицу результата.
Почему у площади и объёма другие соотношения между единицами?
Площадь измеряют квадратными единицами, а объём — кубическими. Поэтому при переходе от квадратных метров к квадратным сантиметрам коэффициент равен 100², а от кубических метров к кубическим сантиметрам — 100³.
Что делать, если в условии задачи величины выражены в разных единицах?
Определи, какие величины нужно сравнить или использовать в вычислениях, и приведи их к подходящим единицам. После решения проверь, что единица ответа соответствует вопросу задачи.
Величины
