"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Числовые выражения, уравнения, проценты и пропорции помогают считать, находить неизвестные величины и описывать отношения между ними. Чтобы получить верный результат, нужно учитывать порядок действий, правильно выполнять преобразования и проверять вычисления. В задачах полезно сначала определить, что известно и что требуется найти, а затем выбрать подходящий способ решения. Эти приёмы пригодятся и в дальнейшей математике, и в повседневных расчётах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Числовое выражение — запись, составленная из чисел, знаков действий и, если нужно, скобок. Например, 36 − 4 · (5 + 2) — числовое выражение. Чтобы найти его значение, выполняют указанные действия в установленном порядке.
Уравнение — равенство, в котором есть неизвестное число, обычно обозначенное буквой. Решить уравнение — значит найти такое значение неизвестного, при котором равенство становится верным. Это нужно, чтобы по известным условиям определить неизвестную величину.
Процент — одна сотая часть величины: 1% = 1/100 = 0,01. Поэтому p процентов можно записать как p/100; например, 25% = 25/100 = ¼. Связь процентов с дробями позволяет находить части величины и сравнивать их разными способами.
Пропорция — равенство двух отношений, например a/b = c/d, где b и d не равны нулю. Числа a и d называют крайними членами, а b и c — средними. Пропорция описывает равенство отношений и помогает находить неизвестное число, когда остальные члены известны.
Порядок действий нужен, чтобы одно и то же выражение все понимали одинаково: запись 2 + 3 · 4 без правила могла бы означать разные вычисления. Скобки показывают, какое действие или часть выражения нужно выполнить раньше остальных. Сначала находят значение в скобках, затем умножают и делят, а после складывают и вычитают; действия одной ступени выполняют слева направо. Поэтому в выражении 2 + 3 · 4 сначала получают 12, а затем 14.
Решение уравнения обычно состоит из обратных действий: ими постепенно освобождают неизвестное. Например, если к утроенному числу прибавили 7, сначала убирают прибавление вычитанием 7, а затем деление на 3. Подстановка нужна потому, что преобразования могут сопровождаться вычислительной ошибкой. Если найденное число даёт одинаковые значения левой и правой частей исходного уравнения, оно действительно является его корнем.
Одна и та же часть величины может быть записана обыкновенной дробью, десятичной дробью или процентом. Например, половина величины — это 1/2; разделив числитель на знаменатель, получаем 0,5, а умножив на 100%, получаем 50%. Такие записи равны по значению, но удобны в разных ситуациях: дроби показывают отношение частей, десятичные дроби упрощают вычисления, а проценты помогают сравнивать доли от целого.
Свойство пропорции следует из равенства отношений: если a/b = c/d, то при умножении обеих частей на b · d получается a · d = b · c. Равенство произведений крайних и средних членов позволяет составить уравнение и найти неизвестный член. После вычисления нужно подставить ответ в исходную пропорцию: так проверяется не только арифметика, но и то, верно ли были сопоставлены величины.
У задач разный сюжет, но общий порядок решения помогает не упустить смысл. Сначала выделяют данные и вопрос, затем решают, какое действие или модель подходит: иногда достаточно вычисления, иногда удобнее уравнение или пропорция. После этого выполняют вычисления и записывают ответ с нужными единицами измерения. В конце оценивают результат: например, цена после скидки должна быть меньше первоначальной, а найденная часть величины — соответствовать условию.
| Понятие | Что означает | Как применить | Как проверить результат |
|---|---|---|---|
| Числовое выражение | Запись из чисел и действий, иногда со скобками. | Вычислить по правилам порядка действий. | Повторить вычисления и сверить их порядок. |
| Уравнение | Равенство с неизвестным числом. | Найти неизвестное обратными действиями. | Подставить найденное значение в исходное равенство. |
| Процент | Сотая часть величины. | Записать процент дробью или десятичным числом и вычислить долю. | Сопоставить долю с исходной величиной и условием. |
| Пропорция | Равенство двух отношений. | Использовать равенство произведений крайних и средних членов. | Подставить ответ и проверить равенство отношений. |
Сначала найдите в таблице понятие, которое подходит к условию задачи, а затем выберите соответствующий способ решения. Столбец проверки подскажет, как убедиться в результате. Если задача многошаговая, можно применить несколько понятий по очереди.
Задача 1. Вычислите значение выражения 36 − 4 · (5 + 2). Скобки здесь задают действие, которое нужно выполнить прежде умножения и вычитания. Если начать слева направо, можно получить неверный результат, поэтому сначала определим порядок вычислений.
Ответ: 8. Проверим ход решения по записи: в скобках получилось 7, произведение 4 · 7 равно 28, а разность 36 и 28 действительно равна 8. Такой порядок сохраняет смысл исходного выражения.
Задача 2. Решите уравнение 3x + 7 = 25 и проверьте ответ. Неизвестное сначала умножено на 3, а затем к результату прибавлено 7. Чтобы оставить x отдельно, отменим эти действия в обратном порядке.
Левая часть после подстановки равна правой, значит, найденное значение подходит. Вычитая 7 и деля на 3, мы сохраняли равенство, потому что выполняли одинаковые действия с обеими его частями. Ответ: x = 6.
Задача 3. После скидки 20% товар стоит 960 рублей. Найдите первоначальную цену. Скидку вычли из полной цены, то есть после неё осталось 100% − 20% = 80% первоначальной стоимости. Поэтому 960 рублей — это 80% исходной цены, а не 100%.
Проверка подтверждает, что после скидки действительно остаётся указанная сумма. Можно было составить пропорцию 80/100 = 960/x: она выражает, что 960 рублей составляют 80% исходной цены. Ответ: 1200 рублей.
Первая ошибка — выполнять действия слева направо, не замечая скобки и приоритет умножения. Так поступают, когда воспринимают запись как цепочку команд и не группируют действия. Проверьте себя: сначала отметьте скобки, затем умножение и деление, а после сложение и вычитание; повторный расчёт должен следовать этой последовательности.
Вторая ошибка — переносить слагаемое или множитель через знак равенства, не меняя соответствующего действия. Обычно это происходит из-за запоминания короткой фразы о «переносе» без понимания преобразования. Выполняйте одно и то же действие с обеими частями уравнения и затем подставьте ответ в исходную запись: неверный корень не даст верного равенства.
Третья ошибка — считать, что увеличение на 20%, а затем уменьшение на 20% возвращает исходное число. Проценты в этих действиях берутся от разных величин: после увеличения исходное число уже изменилось. Для проверки возьмите 100: увеличение на 20% даёт 120, а уменьшение 120 на 20% даёт 96, а не 100.
Четвёртая ошибка — применять свойство пропорции к любой записи с дробями или неправильно сопоставлять её члены. Свойство относится к равенству двух отношений, а не к отдельным дробям, поэтому сначала проверьте, что отношения действительно равны и знаменатели не нулевые. После нахождения неизвестного подставьте его в первоначальную пропорцию и убедитесь, что отношения совпадают.
Для повторения этих понятий нужны действия с натуральными числами, обыкновенными и десятичными дробями, а также знание порядка действий. Без них нельзя надёжно вычислить выражение, найти процент от числа или выполнить преобразования уравнения. Уравнения и пропорции помогают описывать зависимости и решать задачи на отношения, а проценты встречаются в практических расчётах. Эти умения понадобятся при изучении функций и других математических тем.
Как не ошибиться в порядке действий?
Сначала вычислите выражение в скобках. Затем выполните умножение и деление по порядку слева направо, а после — сложение и вычитание. Перед вычислением можно отметить действия в том порядке, в котором их нужно выполнять.
Зачем проверять корень уравнения подстановкой?
Подстановка показывает, превращает ли найденное значение уравнение в верное равенство. Если левая и правая части равны, корень подходит. Проверка помогает заметить ошибку в вычислениях или преобразованиях.
Как перевести процент в десятичную дробь?
Разделите число процентов на 100: например, 20% = 20/100 = 0,2. Чтобы найти процент от величины, умножьте эту величину на полученную десятичную дробь.
Как понять, что задачу удобно решать с помощью пропорции?
Пропорция подходит, если в задаче сравниваются две пары величин и отношения в парах одинаковы. Например, при неизменной цене стоимость прямо связана с количеством товара. Составьте равенство отношений и проверьте, соответствуют ли его члены смыслу задачи.
Что делать, если ответ не похож на разумный?
Вернитесь к условию и проверьте, верно ли выбрали действие или составили уравнение. Затем пересчитайте шаги и оцените порядок величины ответа. Если возможно, проверьте результат подстановкой или другим способом.
Повторим!
