25. Деление на однозначное число

Определения и обозначения

Делимое — число, которое делят. В записи 864 : 3 = 288 это число 864, стоящее перед знаком деления; именно его нужно распределить на равные части или разделить на группы.

Делитель — число, на которое делят. В записи 864 : 3 = 288 делитель — 3, он задаёт размер группы или число равных частей; в этой теме делитель всегда однозначный.

Частное — результат деления. Например, в записи 864 : 3 = 288 частное равно 288. Деление связано с умножением: если a : b = c, то c · b = a, поэтому умножение помогает проверить найденный ответ.

Деление столбиком — способ находить цифры частного по очереди, рассматривая разряды делимого. Запись располагают так, чтобы промежуточные действия были видны. Этот способ удобен, когда табличного случая недостаточно для вычисления всего частного сразу.

Как это устроено

Деление многозначного числа опирается на известные случаи из таблицы деления: на каждом шаге нужно определить, сколько раз однозначный делитель помещается в небольшом числе. Само делимое при этом рассматривают по разрядам — тысячам, сотням, десяткам и единицам. Так можно разделить число постепенно, не пытаясь сразу подобрать всё частное. Цифры частного записываются в соответствии с разрядами делимого.

Начинают с наибольшего разряда, потому что цифра частного должна показывать, сколько единиц этого разряда можно выделить. Если первая цифра делимого меньше делителя, её одной недостаточно для деления нацело, поэтому к ней присоединяют следующую цифру. Получившееся первое неполное делимое уже не меньше делителя. Тогда первая цифра частного занимает разряд, соответствующий последней взятой цифре делимого.

Цифру частного подбирают так, чтобы её произведение на делитель не превышало неполное делимое. Удобно искать наибольшую подходящую цифру: если взять меньшую, остаток может оказаться достаточно большим для ещё одного деления. Найденную цифру умножают на делитель, а произведение вычитают из неполного делимого. Разность показывает, сколько ещё не распределено на этом шаге.

После вычитания к полученному остатку приписывают следующую цифру делимого. Так образуется новое неполное делимое, с которым повторяют подбор цифры, умножение и вычитание. Приписывание цифры сохраняет значение исходного числа: например, остаток 2 и следующая цифра 4 образуют 24. Если цифр делимого больше нет, процесс завершают.

Иногда новое неполное делимое меньше делителя, поэтому в соответствующем разряде частного не получается ни одной целой группы. В этом случае в частное обязательно записывают 0, а затем сносят следующую цифру и продолжают вычисление. Иначе цифры частного сдвинутся и ответ будет означать другое число. В конце умножают частное на делитель и сравнивают с делимым; при наличии остатка его тоже прибавляют.

Алгоритм деления многозначного числа на однозначное

Пользуйся таблицей сверху вниз: каждый следующий этап начинается после проверки предыдущего. Если на шаге получается число меньше делителя, поставь в частном ноль, когда этот разряд ещё не заполнен, и снеси следующую цифру. В конце обязательно проверь частное умножением, а при остатке — ещё и его величину.

Разбор задач

Задача 1. Выполните деление 864 : 3. Начинаем с сотен: 8 сотен делятся на 3, значит первая цифра частного будет в разряде сотен. Дальше по очереди используем оставшиеся разряды делимого.

1. Разделим 8 на 3: получаем 2, остаток 2. Запишем 2 в разряд сотен частного.
2. Снесём цифру 6: получим 26 десятков. 26 : 3 = 8, потому что 8 · 3 = 24; остаток равен 2.
3. Снесём цифру 4: получим 24 единицы. 24 : 3 = 8 без остатка.
4. Запишем цифры по разрядам: 288. Проверим: 288 · 3 = 864.

Ответ: 288. На каждом шаге произведение не превысило неполное делимое, а в конце не осталось лишних единиц. Проверка умножением вернула исходное делимое.

Задача 2. Выполните деление 5040 : 7. Первой цифры 5 недостаточно, чтобы разделить на 7, поэтому берём первые две цифры — 50. После деления важно сохранить ноль в разряде десятков: он показывает, что там не получилось ни одной группы.

1. 50 : 7 = 7, поскольку 7 · 7 = 49. Остаток 1; первую цифру частного записываем в разряд сотен.
2. Сносим 4, получаем 14. 14 : 7 = 2, остаток 0; записываем 2 в частное.
3. Сносим 0: получаем 0, а 0 меньше 7. В разряде десятков частного записываем 0.
4. В частном 720. Проверим умножением: 720 · 7 = 5040.

Ответ: 720. Если пропустить ноль, получилось бы 72, а такое частное не подходит: 72 · 7 = 504. Ноль сохраняет разряд десятков, даже если в нём нет целых групп.

Задача 3. Разделите 2475 на 6 с остатком и проверьте ответ. Начинаем с 24, так как первая цифра 2 меньше делителя. Поскольку делимое не делится на 6 нацело, после последнего шага может остаться остаток.

1. 24 : 6 = 4, остаток 0. Записываем 4 в разряд сотен частного.
2. Сносим 7: 7 : 6 = 1, остаток 1. Следующая цифра частного — 1.
3. Сносим 5: получаем 15. 15 : 6 = 2, потому что 2 · 6 = 12; остаток равен 3.
4. Цифры частного дают 412. Остаток 3 меньше делителя 6, поэтому продолжать деление нельзя.
5. Проверим: 412 · 6 + 3 = 2472 + 3 = 2475.

Ответ: 412 (ост. 3). Проверка подтверждает, что частное и остаток вместе дают исходное число. Кроме того, остаток меньше делителя, значит результат записан правильно.

Типичные ошибки

Если начать не с того разряда, цифры частного могут оказаться записаны не на своих местах. Так бывает, когда ученик делит отдельную цифру, хотя она меньше делителя, или забывает, какие разряды уже использованы. Сверяй первый неполный делитель с делимым и записывай цифры частного напротив соответствующих разрядов. Проверка умножением покажет, соответствует ли частное исходному числу.

Пропуск нуля в частном сдвигает остальные цифры и меняет значение всего результата. Эту ошибку допускают, когда неполное делимое меньше делителя и кажется, что шаг можно просто пропустить. Проверь, занято ли место нужного разряда: если в нём нет целых групп, запиши 0. Затем проверь частное умножением.

Ошибка в умножении подобранной цифры или вычитании даёт неверный остаток и влияет на все следующие шаги. Причиной часто становится спешка или неверно выбранная цифра частного. Повторно умножь её на делитель и убедись, что произведение не больше неполного делимого; затем выполни вычитание. Обратное сложение остатка и произведения должно дать исходное неполное делимое.

Остаток, равный делителю или больший него, означает, что деление не завершено. Такое случается, если подобрали слишком маленькую цифру частного или ошиблись при вычитании. Проверь условие: остаток должен быть меньше делителя. Если он не меньше, увеличь цифру частного и повтори умножение с вычитанием.

Связь с другими темами

Для деления столбиком нужны таблица умножения и деления, понимание разрядного состава многозначных чисел и умение делить с остатком. Знание разрядов помогает правильно выбрать первое неполное делимое и поставить цифры частного на свои места. Табличные случаи ускоряют подбор цифры, а умение находить остаток помогает завершить вычисление.

Этот навык пригодится при делении многозначных чисел и других вычислениях с натуральными числами. Он также помогает проверять деление умножением: частное умножают на делитель, а при остатке прибавляют его. Такая проверка связывает два обратных действия и позволяет обнаружить ошибку в вычислениях.

Что запомнить

• Делитель в этом параграфе — однозначное число.
• Деление столбиком начинают с наибольшего разряда делимого.
• Каждую цифру частного подбирают так, чтобы её произведение на делитель не превышало неполное делимое.
• После вычитания к остатку приписывают следующую цифру делимого.
• Ноль в частном сохраняют, если он занимает разряд.
• При делении с остатком остаток меньше делителя.
• Проверка деления: делитель умножить на частное и прибавить остаток.