"Математика (в 2 частях)", Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В.
Письменное деление на однозначное число помогает находить частное у многозначных чисел, двигаясь слева направо по их разрядам. На каждом шаге мы выбираем часть делимого, делим её на делитель, вычитаем найденное произведение и приписываем следующую цифру. Так вычисление становится последовательным и понятным. Главное — правильно определить первый разряд частного, не забыть ноль в нужном месте и проверить остаток: он должен быть меньше делителя.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Однозначный делитель — число от 1 до 9, на которое делят делимое. Например, в записи 864 : 4 делитель равен 4. Деление на ноль не определяется: нельзя найти число, которое при умножении на 0 даст ненулевое делимое.
Письменное деление — способ находить цифры частного по очереди, обрабатывая разряды делимого слева направо. Вместо того чтобы сразу делить всё многозначное число, мы выполняем короткие действия с его частями. Этот способ удобен, когда устно вычислить частное трудно.
Неполное частное — целая часть результата деления с остатком. Например, при делении 547 на 6 неполное частное равно 91, а остаток — 1: 547 = 6 × 91 + 1. Это понятие помогает записать точный результат, даже если делимое не делится нацело.
Остаток — число, которое остаётся после того, как из делимого вычли произведение делителя на неполное частное. Остаток показывает, сколько единиц не удалось распределить поровну. Он всегда меньше делителя, иначе можно было бы выделить ещё одну группу.
Многозначное делимое состоит из разрядов: единиц, десятков, сотен и так далее. При делении удобно рассматривать эти разряды слева направо, потому что так сразу становится ясно, сколько цифр будет в частном и к какому разряду относится каждая из них. Разложение по разрядам позволяет последовательно распределять сотни, десятки и единицы, а не пытаться разделить всё число одним действием.
Сначала выбирают первый слева кусок делимого, который не меньше делителя. Если первая цифра уже подходит, начинают с неё; если она меньше, берут первые две цифры. Так получают первое неполное делимое, которое можно разделить хотя бы один раз. Его положение показывает разряд первой цифры частного: например, если начали с сотен, первая цифра частного будет обозначать сотни.
Чтобы найти очередную цифру частного, делят неполное делимое на делитель и берут целую часть результата. Затем умножают делитель на найденную цифру: это количество, которое удалось разделить без остатка. Произведение вычитают из неполного делимого, чтобы узнать, сколько единиц осталось перед переходом к следующему разряду.
После вычитания к остатку приписывают следующую цифру делимого — её как бы сносят вниз. Так получается новое неполное делимое для следующего шага. Если оно меньше делителя, в соответствующем разряде частного ставят 0: эта цифра показывает, что в разряде не получилось ни одной группы. Затем сносят следующую цифру и продолжают вычисление.
В конце остаток должен быть меньше делителя, а правильность всего вычисления проверяют равенством: делимое = делитель × неполное частное + остаток. При умножении восстанавливают часть делимого, которая была распределена поровну, а прибавление остатка возвращает нераспределённые единицы. Если равенство выполняется и остаток меньше делителя, результат согласуется с ходом деления.
Таблица показывает, как каждый шаг письменного деления связан со следующим. Пользуйся ею как порядком действий: после вычисления цифры частного обязательно проверь вычитание, прежде чем сносить следующую цифру. В конце проверь полученное частное и остаток.
| Этап | Что делаем | Что записываем или проверяем |
|---|---|---|
| Выбор первого неполного делимого | Берём первую цифру слева или первые цифры, чтобы полученное число было не меньше делителя. | Определяем первое неполное делимое и разряд первой цифры частного. |
| Нахождение очередной цифры частного | Делим неполное делимое на делитель и находим целую цифру. | Записываем цифру частного в нужном разряде. |
| Вычитание произведения | Умножаем делитель на цифру частного и вычитаем результат. | Проверяем, что вычли не больше, чем составляло неполное делимое. |
| Снос следующей цифры делимого | Приписываем к остатку очередную цифру делимого. | Получаем новое неполное делимое; если оно меньше делителя, пишем 0 в частном. |
| Проверка частного и остатка | Умножаем делитель на частное и прибавляем остаток. | Проверяем равенство: делимое = делитель × частное + остаток. |
Начинаем с первой цифры слева: 8 больше 4, значит, первое неполное делимое — 8. Делим 8 на 4 и получаем 2; записываем эту цифру в разряд сотен частного.
Умножаем 2 на 4 и вычитаем 8 из 8, остаток равен 0. Сносим следующую цифру делимого — 6; делим 6 на 4, получаем 1, а после вычитания 6 − 4 остаётся 2.
Сносим последнюю цифру 4: получается 24. Делим 24 на 4, получаем 6, вычитаем 24 и получаем 0. Цифры частного по порядку дают 216.
Ответ: 864 : 4 = 216. Проверка: 216 × 4 = 864, значит, частное найдено верно.
Первая цифра 5 меньше делителя 6, поэтому начинаем с первых двух цифр: 54. Делим 54 на 6 и получаем 9; записываем 9 в частное.
Умножаем 9 на 6 и вычитаем 54 из 54, получаем 0. Сносим следующую цифру делимого — 7, поэтому новое неполное делимое равно 7.
В 7 делитель 6 помещается один раз: записываем 1, а затем вычитаем 6. Остаётся 1; это и есть остаток, он меньше 6, поэтому деление закончено.
Ответ: 547 : 6 = 91 (ост. 1). Проверка: 6 × 91 + 1 = 547.
Число 5 меньше 7, поэтому первым неполным делимым будет 58. Делим 58 на 7: получаем 8, потому что 7 × 8 = 56; вычитаем 56 и получаем 2.
Сносим цифру 3, получаем 23. Делим 23 на 7 и получаем 3, затем вычитаем 21; остаток равен 2. Сносим цифру 2, и новое неполное делимое равно 22.
Делим 22 на 7, получаем 3, так как 7 × 3 = 21. После вычитания остаётся 1; цифры частного — 833, а остаток равен 1.
Ответ: 5832 : 7 = 833 (ост. 1). Проверяем: 833 × 7 = 5831, а 5831 + 1 = 5832; кроме того, 1 меньше 7.
Если начать деление не с первого неполного делимого, которое не меньше делителя, легко неверно определить разряд частного. Обычно это происходит, когда смотрят только на отдельную цифру и не учитывают, что её может быть недостаточно для деления. Проверь, какую часть делимого ты делишь первой и какой разряд она обозначает; например, если пришлось взять первые две цифры, первая цифра частного относится к разряду десятков.
Иногда ученик не записывает ноль, когда очередное неполное делимое меньше делителя. Тогда цифры частного сдвигаются, и ответ получается в другом разряде. Причина часто в том, что ноль принимают за отсутствие цифры, хотя он показывает пустой разряд. Сверь число цифр и разрядов частного с тем, сколько цифр делимого было обработано.
Ошибки при вычитании или сносе цифры меняют следующее неполное делимое, поэтому неверным становится весь дальнейший ход. Их допускают, когда торопятся и не проверяют промежуточные записи. После каждого вычитания пересчитай остаток, а после сноса убедись, что к нему приписана именно следующая цифра делимого.
Остаток, равный делителю или больший него, нельзя оставлять в ответе: значит, деление можно продолжить. Такое случается, если забыли вычесть ещё одну группу или неправильно нашли цифру частного. Проверь остаток сравнением с делителем и выполни проверку умножением с прибавлением остатка.
Для письменного деления нужны навыки табличного умножения и деления: они помогают быстро подбирать цифру частного и проверять произведение. Также важно уметь делить с остатком и понимать разрядный состав многозначных чисел. Если представить, что обозначают сотни, десятки и единицы, легче правильно расположить цифры частного.
Этот способ станет основой для деления многозначных чисел на многозначные: там тоже последовательно выбирают неполные делимые и проверяют вычитания. Деление помогает находить неизвестный множитель, если известны произведение и другой множитель. Обратное умножение также позволяет проверять деление и замечать ошибки в вычислениях.
С какой цифры делимого начинать деление?
Начинай с первой цифры слева, если она не меньше делителя. Если она меньше, возьми вместе с ней следующую цифру делимого. Получившаяся часть должна быть первым неполным делимым.
Почему в частном иногда нужно записать ноль?
Ноль записывают, если очередное неполное делимое меньше делителя и разделить его нацело нельзя. Он сохраняет место разряда в частном, чтобы остальные цифры не сместились.
Как проверить деление с остатком?
Умножь делитель на неполное частное и прибавь остаток. Должно получиться делимое. Дополнительно проверь, что остаток меньше делителя.
Может ли остаток быть равен делителю?
Нет, остаток всегда меньше делителя. Если он равен делителю или больше него, значит, деление можно продолжить и частное найдено неверно.
Что делать, если деление выполняется без остатка?
Запиши остаток 0, если после последнего вычитания ничего не осталось. Проверь результат умножением: делитель, умноженный на частное, должен дать делимое.
Деление на однозначное число
