31. Сравнение десятичных дробей

Определения и обозначения

Десятичная дробь — это дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и так далее. Например, дробь 7/10 записывают как 0,7, а дробь 23/100 — как 0,23. Запятая отделяет целую часть числа от дробной: слева от неё стоят целые единицы, справа — доли единицы. Такая запись удобна тем, что разряды дробной части можно читать по порядку: десятые, сотые, тысячные.

Равные десятичные дроби — это дроби, которые обозначают одно и то же число, хотя количество цифр после запятой у них может быть разным. Например, 0,6 и 0,60 равны: шесть десятых — столько же, сколько шестьдесят сотых. Это определение помогает не принять более длинную запись за большее число. Оно также позволяет дописывать нули, когда нужно привести дроби к одинаковому виду.

Сравнение десятичных дробей — это определение того, какое из двух чисел больше, меньше или равно другому. Для записи результата используют знаки >, < и =: например, 2,4 > 2,1. Сравнивать дроби нужно, чтобы упорядочивать числа и выбирать большее или меньшее значение в задаче. При этом важно учитывать все разряды, а не только количество цифр после запятой.

Как это устроено

Десятичные дроби удобно сравнивать, представляя их как обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями. Например, 0,4 — это 4/10, а 0,35 можно записать как 35/100; если представить 0,4 дробью 40/100, сравнить будет легко: 40/100 больше 35/100. Одинаковые знаменатели означают, что сравниваются доли одного и того же размера. Поэтому достаточно определить, у какой дроби числитель больше.

Сначала сравнивают целые части чисел. Если у одной дроби целая часть больше, то и всё число больше, независимо от цифр после запятой: например, 5,01 > 4,99. Причина в том, что пять целых уже больше четырёх целых, а дробная часть может только дополнять целое число. Поэтому проверять десятые и сотые в такой ситуации не требуется.

Если целые части одинаковы, сравнивают дробные части по разрядам слева направо. Сначала смотрят на десятые, затем — если они равны — на сотые, потом на тысячные и следующие разряды. Первый разряд, в котором цифры отличаются, решает сравнение: например, 2,38 и 2,41 различаются уже в разряде десятых, а 2,38 меньше 2,41. Цифры в следующих разрядах после этого можно не проверять.

Если после запятой у дробей разное количество цифр, можно приписать нули справа к более короткой записи. Такой ноль не меняет числа: например, 0,7 — это семь десятых, а 0,70 — семьдесят сотых, то есть та же величина. Благодаря этому записи можно сделать одинаковой длины и сравнивать соответствующие разряды. Уравнивать длину удобно, но это не обязательный шаг, если нужные разряды и так легко сопоставить.

После сравнения нужно записать отношение чисел знаком >, < или =. Знак раскрывается в сторону большего числа: в записи 6,2 > 6,1 число слева больше числа справа. Проверить знак можно, ещё раз прочитав запись словами: «6,2 больше 6,1». Если чтение не совпадает с результатом сравнения, стоит проверить разряды и поменять знак на противоположный.

Способы сравнения десятичных дробей

Найдите в таблице ситуацию, которая подходит к вашей паре чисел. Начинайте с целых частей, а затем переходите к дробным разрядам только при необходимости. Если длина записей разная, нули справа помогут сопоставить разряды.

Разбор задач

Сравните 3,7 и 3,5.

1. Сначала сравним целые части: в обоих числах это 3, значит, целые части равны. Дальше нужно проверить десятые, потому что это первый разряд после запятой.
2. В числе 3,7 цифра десятых — 7, а в числе 3,5 — 5. Семь десятых больше пяти десятых, поэтому первое число больше второго.
3. Запишем результат со знаком сравнения и прочитаем его вслух. Получаем 3,7 > 3,5: слева стоит большее число.

Ответ: 3,7 > 3,5.

Сравните 4,08 и 4,1.

1. Целые части равны: в обоих числах стоит 4. Чтобы сравнивать дробные разряды по порядку, допишем к 4,1 ноль справа после запятой и получим 4,10.
2. Теперь сравним десятые: у 4,08 стоит 0, а у 4,10 — 1. Уже на этом разряде видно, что 4,08 меньше 4,10, поэтому до сравнения сотых можно не доходить.
3. Запишем результат и проверим знак чтением: число слева меньше числа справа. Значит, верно 4,08 < 4,1.

Ответ: 4,08 < 4,1.

Расположите числа 2,305; 2,35; 2,053; 2,3 в порядке возрастания.

1. У всех чисел целая часть равна 2, поэтому сравнивать будем дробные разряды. Чтобы записи было удобнее сопоставлять, приравняем количество цифр после запятой: 2,305; 2,350; 2,053; 2,300.
2. У числа 2,053 в разряде десятых стоит 0, а у остальных чисел — 3. Значит, 2,053 меньше каждого из них и будет первым.
3. У трёх оставшихся чисел десятые равны 3. В разряде сотых у 2,300 стоит 0, а у 2,305 и 2,350 — 0 и 5? Для 2,350 в разряде сотых стоит 5, поэтому оно больше двух чисел с цифрой 0 в сотых.
4. Сравним 2,300 и 2,305: десятые и сотые совпали, а в тысячных стоят 0 и 5. Поэтому 2,300 меньше 2,305. Запись 2,300 можно заменить на 2,3.

Ответ: 2,053; 2,3; 2,305; 2,35.

Типичные ошибки

• Сравнивать только по количеству цифр после запятой.

  Можно решить, что более длинная запись означает большее число, но это неверно: например, 0,9 больше 0,12. Так ошибаются, когда смотрят на запись целиком, а не на разряды. Проверьте себя: сравните десятые, сотые и при необходимости допишите нули.

• Считать, что ноль справа увеличивает дробь.

  Запись 0,50 может выглядеть больше, чем 0,5, из-за дополнительной цифры. Однако обе записи обозначают пять десятых, поэтому их значения равны. Проверка простая: назовите обе дроби через сотые — 0,5 = 0,50.

• Сравнивать дробные части, не проверив целые.

  Цифры после запятой привлекают внимание, и можно забыть, что целые части уже определяют результат. Например, 3,9 меньше 4,0, хотя цифра десятых у первого числа больше. Сначала найдите целые части и переходите к дробным разрядам только при их равенстве.

• Считать, что 0,8 меньше 0,75, потому что 8 меньше 75.

  Здесь сравниваются не просто числа 8 и 75, а десятые и сотые. Запишите 0,8 как 0,80: в десятых у него 8, а у 0,75 — 7, поэтому 0,80 больше. Проверяйте, к какому разряду относится каждая цифра.

Связь с другими темами

Чтобы сравнивать десятичные дроби, нужно знать разряды десятичной записи и понимать значение цифр в целой и дробной частях. Например, цифра в разряде десятых показывает десятые доли, а в разряде сотых — сотые доли. Это знание помогает определить, какой разряд сравнивать следующим, если предыдущие цифры совпали.

Сравнение пригодится, когда числа нужно расположить на координатном луче: меньшие числа находятся левее больших. Оно также помогает решать задачи с величинами, записанными десятичными дробями, например сравнивать длину, массу или стоимость. В таких случаях сначала важно привести записи к удобному виду и только затем выбирать большее или меньшее значение.

Что запомнить

• Сначала сравнивают целые части десятичных дробей.
• Если целые части равны, сравнивают цифры дробной части слева направо.
• Первый разряд, в котором цифры различаются, определяет результат сравнения.
• Нули справа после запятой можно приписывать или отбрасывать без изменения значения дроби.
• Знаки сравнения: > — больше, < — меньше, = — равно.
• Дроби с одинаковыми цифрами во всех разрядах равны, даже если их записи различаются нулями в конце.